1. Vamos considerar a função não periódica dada: $$f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1 \\ 2, & 1 < x < 2 \end{cases}$$ 2. Queremos encontrar a expansão em série de cossenos, que é uma série de Fourier do tipo cosseno para funções definidas em um intervalo $[0,L]$. Aqui, $L=2$. 3. A fórmula para a expansão em série de cossenos é: $$F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)$$ onde $$a_0 = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx$$ 4. Calculando $a_0$: $$a_0 = \frac{2}{2} \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^1 x \, dx + \int_1^2 2 \, dx$$ $$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + \left[ 2x \right]_1^2 = \frac{1}{2} + (4 - 2) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$ 5. Calculando $a_n$ para $n \geq 1$: $$a_n = \int_0^1 x \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx + \int_1^2 2 \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \, dx$$ 6. Para a primeira integral, usamos integração por partes: Seja $u = x$, $dv = \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$, então $$du = dx, \quad v = \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$ Logo, $$\int_0^1 x \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx = \left. x \cdot \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$ 7. Calculando a segunda integral: $$\int_0^1 \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx = -\frac{2}{n \pi} \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \Big|_0^1 = -\frac{2}{n \pi} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - 1 \right)$$ 8. Substituindo de volta: $$\int_0^1 x \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx = \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - 1 \right)$$ 9. Para a segunda integral: $$\int_1^2 2 \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx = 2 \cdot \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi x}{2}\right) \Big|_1^2 = \frac{4}{n \pi} \left( \sin(n \pi) - \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) \right)$$ 10. Como $\sin(n \pi) = 0$, temos: $$\int_1^2 2 \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx = -\frac{4}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)$$ 11. Somando as duas integrais para $a_n$: $$a_n = \frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - 1 \right) - \frac{4}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)$$ 12. Simplificando os termos com $\sin$: $$a_n = -\frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - 1 \right)$$ 13. Portanto, a expansão em série de cossenos é: $$F(x) = \frac{5}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[-\frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - 1 \right)\right] \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$ 14. Para o item b), a soma da série obtida em a) representa a função $f(x)$ estendida de forma par e periódica com período $4$ no intervalo $[-5,3]$. O gráfico da soma da série é a função original no intervalo $[0,2]$ e sua extensão par e periódica fora dele. 15. Assim, o esboço da soma da série no intervalo $[-5,3]$ é uma função periódica de período $4$ que coincide com $f(x)$ em $[0,2]$ e é simétrica em relação ao eixo $y=0$. Resposta final: $$F(x) = \frac{5}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[-\frac{2}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{2}\right) - 1 \right)\right] \cos\left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$