1. **Enunciado do problema:** Queremos encontrar uma raiz aproximada da função $f(x) = x^3 - x - 1$ no intervalo $I = [1, 2]$ usando o método da posição falsa, realizando cinco iterações. 2. **Fórmula do método da posição falsa:** O método da posição falsa calcula uma nova aproximação $x_r$ da raiz usando os pontos $x_a$ e $x_b$ do intervalo onde $f(x_a)$ e $f(x_b)$ têm sinais opostos: $$ x_r = x_b - f(x_b) \cdot \frac{x_b - x_a}{f(x_b) - f(x_a)} $$ 3. **Regras importantes:** - Sempre que $f(x_a) \cdot f(x_r) < 0$, a raiz está no intervalo $[x_a, x_r]$, então substituímos $x_b$ por $x_r$. - Caso contrário, a raiz está no intervalo $[x_r, x_b]$, então substituímos $x_a$ por $x_r$. 4. **Iterações:** - Inicialmente, $x_a = 1$, $x_b = 2$. **Iteração 1:** Calculamos $f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1$ e $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5$. $$ x_r = 2 - 5 \cdot \frac{2 - 1}{5 - (-1)} = 2 - 5 \cdot \frac{1}{6} = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6} \approx 1.1667 $$ Calculamos $f(1.1667) \approx 1.1667^3 - 1.1667 - 1 = 1.588 - 1.1667 - 1 = -0.5787$. Como $f(1) \cdot f(1.1667) = (-1) \cdot (-0.5787) > 0$, substituímos $x_a = 1.1667$. **Iteração 2:** $$ x_r = 2 - 5 \cdot \frac{2 - 1.1667}{5 - (-0.5787)} = 2 - 5 \cdot \frac{0.8333}{5.5787} = 2 - 5 \cdot 0.1494 = 2 - 0.747 = 1.253 $$ Calculamos $f(1.253) \approx 1.253^3 - 1.253 - 1 = 1.967 - 1.253 - 1 = -0.286$. Como $f(1.1667) \cdot f(1.253) = (-0.5787) \cdot (-0.286) > 0$, substituímos $x_a = 1.253$. **Iteração 3:** $$ x_r = 2 - 5 \cdot \frac{2 - 1.253}{5 - (-0.286)} = 2 - 5 \cdot \frac{0.747}{5.286} = 2 - 5 \cdot 0.1413 = 2 - 0.7065 = 1.2935 $$ Calculamos $f(1.2935) \approx 1.2935^3 - 1.2935 - 1 = 2.164 - 1.2935 - 1 = -0.1295$. Como $f(1.253) \cdot f(1.2935) = (-0.286) \cdot (-0.1295) > 0$, substituímos $x_a = 1.2935$. **Iteração 4:** $$ x_r = 2 - 5 \cdot \frac{2 - 1.2935}{5 - (-0.1295)} = 2 - 5 \cdot \frac{0.7065}{5.1295} = 2 - 5 \cdot 0.1377 = 2 - 0.6885 = 1.3115 $$ Calculamos $f(1.3115) \approx 1.3115^3 - 1.3115 - 1 = 2.256 - 1.3115 - 1 = -0.0555$. Como $f(1.2935) \cdot f(1.3115) = (-0.1295) \cdot (-0.0555) > 0$, substituímos $x_a = 1.3115$. **Iteração 5:** $$ x_r = 2 - 5 \cdot \frac{2 - 1.3115}{5 - (-0.0555)} = 2 - 5 \cdot \frac{0.6885}{5.0555} = 2 - 5 \cdot 0.1362 = 2 - 0.681 = 1.319 $$ Calculamos $f(1.319) \approx 1.319^3 - 1.319 - 1 = 2.294 - 1.319 - 1 = -0.025$. 5. **Resposta final:** Após cinco iterações, a raiz aproximada é $x \approx 1.319$, que corresponde à alternativa A: $x=1,318989$.