1. **Enunciado do problema:** Queremos aproximar o zero $\beta$ da função $f(x)=x+0.5+x\cos(\pi x)$ com precisão de 7 casas decimais usando os métodos da Bisseção, Newton e Secante. 2. **Parte (a) - Método da Bisseção:** A fórmula para o número mínimo de iterações $n$ para garantir erro $\varepsilon$ é: $$ n \geq \frac{\log(b - a) - \log(\varepsilon)}{\log(2)} $$ onde $[a,b]$ é o intervalo inicial que contém a raiz. 3. **Determinar intervalo $[a,b]$:** Testamos $f(-1)$ e $f(0)$: $f(-1) = -1 + 0.5 -1 \times \cos(-\pi) = -0.5 -1 \times (-1) = -0.5 +1 = 0.5 > 0$ $f(0) = 0 + 0.5 + 0 = 0.5 > 0$ Testamos $f(-0.5)$: $f(-0.5) = -0.5 + 0.5 -0.5 \times \cos(-0.5\pi) = 0 -0.5 \times 0 = 0$ $f(-0.5) = 0$ é raiz exata, mas para garantir intervalo, testamos $f(-0.6)$: $f(-0.6) = -0.6 + 0.5 -0.6 \times \cos(-0.6\pi)$ $\cos(-0.6\pi) = \cos(0.6\pi) \approx -0.8090$ $f(-0.6) = -0.1 -0.6 \times (-0.8090) = -0.1 + 0.4854 = 0.3854 > 0$ Testamos $f(-0.4)$: $\cos(-0.4\pi) = \cos(0.4\pi) \approx 0.3090$ $f(-0.4) = -0.4 + 0.5 -0.4 \times 0.3090 = 0.1 - 0.1236 = -0.0236 < 0$ Assim, $f(-0.6) > 0$ e $f(-0.4) < 0$, intervalo $[-0.6, -0.4]$ contém a raiz. 4. **Calcular número de iterações para erro $\varepsilon = 5 \times 10^{-8}$ (7 casas decimais):** $$ n \geq \frac{\log(-0.4 + 0.6) - \log(5 \times 10^{-8})}{\log(2)} = \frac{\log(0.2) - \log(5 \times 10^{-8})}{\log(2)} $$ Calculando: $$ \log(0.2) \approx -1.6094, \quad \log(5 \times 10^{-8}) = \log(5) + \log(10^{-8}) \approx 1.6094 - 18.4207 = -16.8113 $$ $$ n \geq \frac{-1.6094 - (-16.8113)}{0.6931} = \frac{15.2019}{0.6931} \approx 21.93 $$ Portanto, são necessárias pelo menos 22 iterações. 5. **Parte (b) - Método de Newton:** Função e derivadas: $$ f(x) = x + 0.5 + x \cos(\pi x) $$ $$ f'(x) = 1 + \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x) $$ $$ f''(x) = -2 \pi \sin(\pi x) - \pi^2 x \cos(\pi x) $$ 6. **Verificar condições do Teorema 80 no intervalo $[-0.8, -0.4]$:** - $f \in C^2$ é contínua e derivável. - $f(-0.8) \times f(-0.4) < 0$ (verificamos sinais): $f(-0.8)\approx -0.8 + 0.5 -0.8 \times \cos(-0.8\pi)$ $\cos(0.8\pi) \approx -0.3090$ $f(-0.8) = -0.3 -0.8 \times (-0.3090) = -0.3 + 0.2472 = -0.0528 < 0$ $f(-0.4) < 0$ (já calculado), então $f(-0.8) \times f(-0.4) > 0$, condição falha. 7. **Derivada não nula:** Testamos $f'(-0.8)$ e $f'(-0.4)$ para garantir $f'(x) \neq 0$ no intervalo. 8. **Segunda derivada não muda de sinal:** Testar sinais de $f''(x)$ no intervalo para garantir monotonia do sinal. 9. **Novo intervalo onde condições valem:** Testamos $[-0.6, -0.4]$ onde $f(-0.6) > 0$ e $f(-0.4) < 0$, então $f(a)f(b) < 0$. 10. **Condição final do Teorema 80:** Verificar se existe $x_0 \in [a,b]$ tal que $f(x_0)f''(x_0) > 0$. Escolhemos $x_0 = -0.5$: $f(-0.5) = 0$ (raiz exata), então condição é satisfeita. 11. **Escolha de $x_0 = -0.5$ e cálculo de $x_1$ pelo método de Newton:** $$ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} $$ Calculamos $f'(-0.5)$: $$ f'(-0.5) = 1 + \cos(-0.5\pi) - \pi (-0.5) \sin(-0.5\pi) = 1 + 0 - (-1.5708)(-1) = 1 - 1.5708 = -0.5708 $$ Como $f(-0.5) = 0$, então: $$ x_1 = -0.5 - \frac{0}{-0.5708} = -0.5 $$ 12. **Parte (c) - Método da Secante:** Usando $x_0 = -0.5$ e $x_1 = -0.5$ (mesmo valor), para evitar divisão por zero, escolhemos $x_0 = -0.6$ e $x_1 = -0.5$. Calculamos $f(-0.6) = 0.3854$ e $f(-0.5) = 0$. Fórmula do método da secante: $$ x_2 = x_1 - f(x_1) \times \frac{x_1 - x_0}{f(x_1) - f(x_0)} $$ Substituindo: $$ x_2 = -0.5 - 0 \times \frac{-0.5 + 0.6}{0 - 0.3854} = -0.5 $$ **Resposta final:** - (a) São necessárias pelo menos 22 iterações no método da Bisseção. - (b) No intervalo $[-0.8, -0.4]$ não se garante convergência do método de Newton, mas no intervalo $[-0.6, -0.4]$ sim. - Aproximação inicial $x_0 = -0.5$ satisfaz as condições e $x_1 = -0.5$. - (c) Pelo método da Secante com $x_0 = -0.6$ e $x_1 = -0.5$, a aproximação $x_2 = -0.5$.