1. Problema este să determinăm domeniul de convergență pentru seria $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{\sqrt{n}}$$. 2. Folosim testul raportului (criteriul lui d'Alembert) pentru a determina convergența seriei. Formula testului este: $$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$ unde seria converge absolut dacă $$L < 1$$, diverge dacă $$L > 1$$ și este inconcludent dacă $$L = 1$$. 3. Calculăm raportul termenilor: $$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{x^n}{\sqrt{n}}} \right| = \left| x \right| \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$$ 4. Luăm limita când $$n \to \infty$$: $$L = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = |x| \cdot 1 = |x|$$ 5. Conform testului raportului, seria converge absolut dacă $$|x| < 1$$ și diverge dacă $$|x| > 1$$. 6. Pentru $$|x| = 1$$, trebuie să verificăm convergența seriei: - Dacă $$x = 1$$, seria devine $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$$, care este o serie p cu $$p = \frac{1}{2} < 1$$, deci diverge. - Dacă $$x = -1$$, seria devine $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$, care este o serie alternantă cu termeni care tind la zero și sunt monoton descrescători în valoare absolută, deci converge condiționat conform criteriului Leibniz. 7. Concluzie: Domeniul de convergență este $$(-1,1]$$ cu convergență absolută pe $$(-1,1)$$ și convergență condiționată în $$x = -1$$. Răspuns final: Domeniul de convergență este $$\boxed{[-1,1)}$$ cu convergență condiționată la $$x = -1$$ și divergență la $$x = 1$$.