1. **Énoncé du problème** : Déterminer si les fonctions suivantes ont des asymptotes horizontales. 2. **Rappel** : Une asymptote horizontale existe si la limite de la fonction quand $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$ est une constante finie $L$. Alors, la droite $y = L$ est une asymptote horizontale. 3. **Analyse de chaque fonction** : **Fonction 1 :** $f(x) = \frac{x - 1}{2x + 3}$ - Pour $x \to +\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{2x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\cancel{x}(1 - \frac{1}{x})}{\cancel{x}(2 + \frac{3}{x})} = \frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$ - Pour $x \to -\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{1}{2}$$ **Conclusion** : asymptote horizontale $y = \frac{1}{2}$. **Fonction 2 :** $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{2x + 3}$ - Pour $x \to +\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2} - 1}{2x + 3} = +\infty$$ - Pour $x \to -\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2} - 1}{2x + 3} = -\infty$$ **Conclusion** : pas d'asymptote horizontale. **Fonction 3 :** $f(x) = \frac{x - 1}{2x^{2} + 3}$ - Pour $x \to +\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{2x^{2} + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} - 0}{2 + 0} = 0$$ - Pour $x \to -\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$ **Conclusion** : asymptote horizontale $y = 0$. **Fonction 4 :** $f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{2x - 1}$ - Pour $x \to +\infty$ : $$\sqrt{x^{2} + x} = |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{2x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\cancel{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{2 \cancel{x} - \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1 + 0}}{2 - 0} = \frac{1}{2}$$ - Pour $x \to -\infty$ : $$\sqrt{x^{2} + x} = -x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$$ car $x$ négatif donc $|x| = -x$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{2x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\cancel{x} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{2 \cancel{x} - \frac{1}{x}} = \frac{-1}{2}$$ **Conclusion** : asymptotes horizontales $y = \frac{1}{2}$ pour $x \to +\infty$ et $y = -\frac{1}{2}$ pour $x \to -\infty$. **Résumé final :** - $f_1$ : asymptote horizontale $y = \frac{1}{2}$ - $f_2$ : pas d'asymptote horizontale - $f_3$ : asymptote horizontale $y = 0$ - $f_4$ : asymptotes horizontales $y = \frac{1}{2}$ et $y = -\frac{1}{2}$