1. Énonçons le problème : Nous devons montrer que pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, la dérivée seconde de $f$ est donnée par $$f''(x) = \frac{3 - 2 \ln(x)}{x^3}$$ Puis étudier la convexité de la courbe $(C_f)$ et déterminer les coordonnées du point d'inflexion. 2. Rappelons que $f(x) = -\frac{\ln(x)}{x}$ pour $x > 0$. 3. Calculons la première dérivée $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{\ln(x)}{x}\right) = - \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right)$$ Utilisons la règle du quotient : $$\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ avec $u = \ln(x)$ et $v = x$. 4. Calculons $u'$ et $v'$ : $$u' = \frac{1}{x}, \quad v' = 1$$ Donc $$f'(x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = - \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{\ln(x) - 1}{x^2}$$ 5. Calculons maintenant la dérivée seconde $f''(x)$ : $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x) - 1}{x^2} \right)$$ Posons $w = \ln(x) - 1$ et $z = x^2$. 6. Appliquons la règle du quotient : $$f''(x) = \frac{w' z - w z'}{z^2}$$ avec $$w' = \frac{1}{x}, \quad z' = 2x$$ Donc $$f''(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln(x) - 1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x (\ln(x) - 1)}{x^4}$$ 7. Simplifions le numérateur : $$x - 2x (\ln(x) - 1) = x - 2x \ln(x) + 2x = 3x - 2x \ln(x)$$ 8. Donc $$f''(x) = \frac{3x - 2x \ln(x)}{x^4} = \frac{x (3 - 2 \ln(x))}{x^4} = \frac{3 - 2 \ln(x)}{x^3}$$ 9. Étudions la convexité de $(C_f)$ : La convexité dépend du signe de $f''(x)$. - $f''(x) > 0$ si et seulement si $3 - 2 \ln(x) > 0$ car $x^3 > 0$ pour $x > 0$. - Résolvons $3 - 2 \ln(x) > 0$ : $$3 > 2 \ln(x) \Rightarrow \frac{3}{2} > \ln(x) \Rightarrow x < e^{3/2}$$ - Donc $f$ est convexe sur $]0 ; e^{3/2}[$. - Pour $x > e^{3/2}$, $f''(x) < 0$, donc $f$ est concave sur $]e^{3/2} ; +\infty[$. 10. Le point d'inflexion est le point où $f''(x) = 0$, c'est-à-dire $$3 - 2 \ln(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) = \frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{3/2}$$ 11. Calculons l'ordonnée du point d'inflexion : $$f\left(e^{3/2}\right) = - \frac{\ln\left(e^{3/2}\right)}{e^{3/2}} = - \frac{3/2}{e^{3/2}}$$ D'après l'énoncé, $e^{3/2} \approx 4.5$ et $f(e^{3/2}) \approx 4.15$ (valeur approchée). 12. Conclusion : - La courbe $(C_f)$ est convexe sur $]0 ; e^{3/2}[$ et concave sur $]e^{3/2} ; +\infty[$. - Le point d'inflexion a pour coordonnées approximatives $$\left(e^{3/2}, f\left(e^{3/2}\right)\right) \approx (4.5, 4.15)$$ --- 6. Tracer la droite $(\Delta)$ et la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ : - La droite $(\Delta)$ est donnée par $y = x$. - La courbe $(C_f)$ est définie par $f(x) = - \frac{\ln(x)}{x}$. - On place les points clés : - Le point d'inflexion approximatif $(4.5, 4.15)$. - Le comportement aux limites et la position relative par rapport à $(\Delta)$ étudiés dans les questions précédentes. Ce tracé permet de visualiser la convexité, la concavité, et l'asymptote oblique.