1. Énonçons le problème : Quelle est la différence entre les expressions $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ et $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ ? 2. Ces deux expressions représentent des taux de variation moyens d'une fonction $f$. 3. La première expression $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ calcule le taux de variation moyen de $f$ entre deux points distincts $a$ et $b$. 4. La deuxième expression $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ calcule le taux de variation moyen de $f$ entre $a$ et un point proche $a+h$, où $h$ est un petit incrément. 5. En fait, la deuxième expression est utilisée pour définir la dérivée de $f$ en $a$ lorsque $h$ tend vers zéro : $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$$ 6. En résumé, la première expression mesure la pente moyenne entre deux points fixes $a$ et $b$, tandis que la deuxième mesure la pente moyenne sur un intervalle très petit autour de $a$, ce qui permet de trouver la pente instantanée (la dérivée) en $a$. 7. Important : $h$ doit être différent de zéro pour que la deuxième expression soit définie. 8. Conclusion : - $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ est un taux de variation moyen sur un intervalle fixe. - $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ est un taux de variation moyen sur un intervalle infinitésimal, base de la dérivée.