1. **Énoncé du problème :** Tracer le graphique d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ avec les conditions suivantes : - Domaine : $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ - Asymptote horizontale gauche : $y=0$ quand $x\to -3$ - Asymptote oblique droite : $y=x-4$ quand $x\to 3$ - Valeurs données : $f(-2)=-4$, $f(2)=0$, $f(6)=4$ - Limites : - $\lim_{x\to 3^-} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x\to 3^+} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 4$ - $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 2$ - Dérivée première : - $f'(x)>0$ si $x<-3$ ou $-26$ - $f'(x)<0$ si $00$ si $x>3$ ou $x<2$ - $f''(x)<0$ si $20$ sur $(-\infty,-3)$, donc $f$ croissante avant $-3$. - $f'(x)<0$ sur $(-3,-2)$, donc décroissante entre $-3$ et $-2$. - $f'(x)>0$ sur $(-2,0)$, donc croissante entre $-2$ et $0$. - $f'(x)<0$ sur $(0,6)$, donc décroissante entre $0$ et $6$. - $f'(x)>0$ sur $(6,+\infty)$, donc croissante après $6$. 4. **Identification des extrema :** - En $x=-2$, $f$ passe de décroissante à croissante donc minimum local : $f(-2)=-4$. - En $x=0$, $f$ passe de croissante à décroissante donc maximum local. Limites à droite et gauche sont différentes ($4$ et $2$), donc $f(0)$ n'est pas donné mais on sait que $f$ atteint un maximum local proche de $0$. - En $x=6$, $f$ passe de décroissante à croissante donc minimum local : $f(6)=4$. 5. **Étude de la concavité (dérivée seconde) :** - $f''(x)>0$ sur $(-\infty,2)$ et $(3,+\infty)$ donc concave vers le haut sur ces intervalles. - $f''(x)<0$ sur $(2,3)$ donc concave vers le bas entre $2$ et $3$. 6. **Points d'inflexion :** - En $x=2$ et $x=3$, changement de concavité donc points d'inflexion. 7. **Résumé des points importants :** - Discontinuités : $x=-3$ (asymptote horizontale $y=0$), $x=3$ (asymptote verticale). - Minimums locaux : $(-2,-4)$ et $(6,4)$. - Maximum local : proche de $x=0$. - Points d'inflexion : $x=2$ et $x=3$. 8. **Conclusion :** Le graphique doit respecter ces conditions, avec les asymptotes, les variations, les extrema et les points d'inflexion indiqués.