1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ dont la courbe $(C)$ est donnée, ainsi que la droite $(D)$ d'équation $y = x + 2$. On doit répondre aux questions sur $f$ en se basant sur ces informations. 2. Analyse de la fonction $f$ : - La droite $(D)$ a pour équation $y = x + 2$. - La courbe $(C)$ semble être une fonction rationnelle avec une asymptote verticale en $x=1$ (d'après la description du graphique). 3. Réponses aux questions : 1) Ensemble de définition de $f$ : - La fonction a une asymptote verticale en $x=1$, donc $f$ n'est pas définie en $x=1$. - Donc, l'ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. 2) Calcul de $f(0)$ : - D'après le graphique, $f(0)$ est environ $-2$. 3) Calcul de $f^{-1}(1)$ : - $f(x) = 1$ implique de trouver $x$ tel que $f(x) = 1$. - D'après le graphique, $f^{-1}(1) = 2$. 4) Limite en $x \to -1$ : - D'après le graphique, $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$. 5) Limite en $x \to +1$ : - Il y a une asymptote verticale en $x=1$, donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. 6) Limite en $x \to +\infty$ : - D'après le graphique, $f(x) \to +\infty$. 7) Limite en $x \to -\infty$ : - D'après le graphique, $f(x) \to 0$. 8) Limite de $f(x) - x$ en $x \to +\infty$ : - Puisque $f(x)$ croît plus vite que $x$, $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -2$. 9) Parité de la fonction : - La fonction n'est ni paire ni impaire. 10) Monotonie sur $]-\infty; -2]$ : - La fonction est croissante. 11) Nombre d'asymptotes : - Il y a 2 asymptotes (verticale en $x=1$ et oblique). 12) Asymptote au voisinage de $-\infty$ : - Une asymptote horizontale. 13) Asymptote au voisinage de $+\infty$ : - Une asymptote oblique. 14) Valeur de $f(-3)$ : - D'après le graphique, $f(-3) = 2$. 15) Positivité de $f$ : - $f$ est positive sur $[0;1]$. 16) Convexité : - $(C)$ est convexe sur $]-\infty;1]$. 17) Concavité : - $(C)$ est concave sur $[-2;0]$. 18) Point d'inflexion : - Sur $]-\infty;2]$. 19) Solutions de $f(x) < 2$ : - Il y a une unique solution. 20) Solutions de $f(x) = 0$ sur $]-\infty;1[$ : - D'après le graphique, il y a une solution. Réponses principales : 1) $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ 2) $-2$ 3) $2$ 4) $0$ 5) $+\infty$ 6) $+\infty$ 7) $0$ 8) $-2$ 9) Ni paire ni impaire 10) Croissante 11) 2 12) Asymptote horizontale 13) Asymptote oblique 14) 2 15) $[0;1]$ 16) $]-\infty;1]$ 17) $[-2;0]$ 18) $]-\infty;2]$ 19) Une unique solution 20) Une solution