1. **Étude de la fonction** $f(x) = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$. 2. **Domaine de définition** : - Le logarithme est défini pour un argument strictement positif. - Donc $\frac{x-1}{x+1} \neq 0$ et $\frac{x-1}{x+1} > 0$. - Cela donne $x > 1$ ou $x < -1$. - Domaine : $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. 3. **Limites aux bornes** : - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + \ln 0^+ = -\infty$. - $\lim_{x \to 1^-}$ n'existe pas car $x=1$ n'est pas dans le domaine. - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1 + \ln 0^+ = -\infty$. - $\lim_{x \to -1^+}$ n'existe pas. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $x$ domine). - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. 4. **Continuité** : - $f$ est continue sur son domaine $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. 5. **Dérivabilité** : - $f$ est dérivable sur son domaine. - Dérivée : $$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = 1 + \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$$ Calcul de la dérivée de la fraction : $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac{(1)(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$$ Donc : $$f'(x) = 1 + \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = 1 + \frac{2}{(x+1)^2} \cdot \frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{(x+1)(x-1)}$$ Simplifions : $$f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$ 6. **Tableau de variation** : - Dénominateur $x^2 - 1 = 0$ pour $x = \pm 1$ (exclu du domaine). - $f'(x) > 0$ pour tout $x$ dans le domaine car $x^2 + 1 > 0$ et $x^2 - 1 > 0$ sur $(-\infty, -1)$ et $(1, +\infty)$. - Donc $f$ est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine. 7. **Asymptotes** : - Verticales en $x = -1$ et $x = 1$ car $f(x) \to -\infty$. - Oblique en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|}{x} \right) = 1$$ - Donc asymptote oblique $y = x + b$. - Trouvons $b$ : $$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = \ln 1 = 0$$ - Asymptote oblique : $y = x$. 8. **Tangentes** : - Pas de tangente en $x = \pm 1$ car discontinuité. 9. **Courbe** : - Tracer sur $(-\infty, -1)$ et $(1, +\infty)$. - Fonction croissante, tend vers $-\infty$ aux bornes, et vers $+\infty$ à l'infini. --- "slug": "fonction ln fraction", "subject": "analyse mathématique", "desmos": {"latex": "y = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|", "features": {"intercepts": true, "extrema": true}}, "q_count": 1