1. **Énoncé du problème :** On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $t$ et $t'$, $f(t+t')=f(t)\times f(t')$. On veut montrer plusieurs propriétés de cette fonction, notamment que $f(t)=g(t)$ si $f(0)=1$, que $f$ satisfait la relation fonctionnelle multiplicative, que si $f$ s'annule en un point alors elle est nulle partout, que $f(0)=1$, et que sa dérivée satisfait $f'(x)=k f(x)$. 2. **Question 1 : Montrer que $f(t)=g(t)$ si $f(0)=1$** On a $\frac{f(t_0+t)}{f(t_0)}=g(t)$ et on choisit $t_0=0$. Donc $\frac{f(0+t)}{f(0)}=g(t)$. Comme $f(0)=1$, on a $$g(t)=\frac{f(t)}{1}=f(t)$$ Donc $f(t)=g(t)$. 3. **Question 2 : Montrer que $f(t+t')=f(t)\times f(t')$** On a $\frac{f(t+t')}{f(t')}=g(t)$ d'après l'énoncé. En utilisant la question 1, $g(t)=f(t)$. Donc $$\frac{f(t+t')}{f(t')}=f(t) \Rightarrow f(t+t')=f(t) \times f(t')$$ 4. **Question II.1 : Si $f$ s'annule en un point $a$, alors $f$ est nulle partout** Supposons $f(a)=0$. Pour tout $t$, on a $$f(t+a)=f(t) \times f(a) = f(t) \times 0 = 0$$ Donc $f$ est nulle en tout point $t+a$, donc partout. 5. **Question II.2 : Montrer que $f(0)=1$** On utilise la relation fonctionnelle avec $t=0$ et $t'=0$ : $$f(0+0)=f(0) \times f(0)$$ Donc $$f(0)=f(0)^2$$ Ce qui donne $$f(0)(1 - f(0))=0$$ Donc $f(0)=0$ ou $f(0)=1$. Mais si $f(0)=0$, alors $f$ est nulle partout (question précédente), ce qui est exclu. Donc $$f(0)=1$$ 6. **Question II.3 : Montrer que $s(x)=f(a+x)-f(a)f(x)$ est la fonction nulle et en déduire $s'(x)$** Par définition, $$s(x)=f(a+x)-f(a)f(x)$$ D'après la relation fonctionnelle, $$f(a+x)=f(a)f(x)$$ Donc $$s(x)=f(a)f(x)-f(a)f(x)=0$$ Donc $s$ est la fonction nulle. La dérivée de $s$ est donc $$s'(x)=0$$ 7. **Question II.4 : Exprimer $s'(x)$ et appliquer à $x=0$** On admet que $$s'(x)=f'(a+x)-f(a)f'(x)$$ En posant $x=0$, $$s'(0)=f'(a+0)-f(a)f'(0)=f'(a)-f(a)f'(0)$$ Mais $s'(0)=0$ car $s$ est nulle. Donc $$f'(a)-f(a)f'(0)=0$$ 8. **Question II.5 : Justifier que $f'(a)-f(a)f'(0)=0$** C'est la relation obtenue à la question précédente. 9. **Question II.6 : Poser $f'(0)=k$ et montrer que $f'(a)=k f(a)$** En posant $k=f'(0)$, on a $$f'(a)=f(a)k$$ Ce qui montre que la dérivée de $f$ est proportionnelle à $f$ elle-même. --- **Bilan :** - $f(t+t')=f(t)f(t')$ - $f(0)=1$ - $f'(x)=k f(x)$ où $k=f'(0)$ Ces propriétés caractérisent les fonctions exponentielles, qui modélisent l'évolution des populations dans ce contexte. **Réponse finale :** La fonction $f$ vérifie $f(t+t')=f(t)f(t')$, $f(0)=1$ et $f'(x)=k f(x)$ avec $k=f'(0)$.