1. Énonçons le problème : Calculer la limite $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \int_0^\infty \left( \prod_{j=1}^k \sqrt{\int_0^1 \frac{\sum_{m=1}^\infty \sin^{2m}(x) / m^j}{\ln^j(1 + t^m)} dt} \right) e^{-x^2} dx + \sum_{p \text{ premier}} \ln\left(\int_0^1 \frac{t^{p-1}(1 - t)^{p-1} dt}{\prod_{q=1}^p \zeta(q + 1)}\right) - \iiint_{\mathbb{R}^3} \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \frac{e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}}{1 + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) dx dy dz. $$ 2. Observons que la somme sur $k$ ressemble à une série de Taylor alternée avec un facteur $1/k!$ et un terme intégral complexe. 3. Le terme intérieur avec produit et intégrales est très compliqué, mais remarquons que $\sum_{m=1}^\infty \sin^{2m}(x)/m^j$ converge pour $|\sin^2(x)|<1$. 4. La deuxième somme est sur les nombres premiers $p$, avec un logarithme d'une intégrale divisée par un produit de fonctions zêta. 5. Le triple intégral sur $\mathbb{R}^3$ d'une dérivée seconde mixte d'une fonction radiale exponentielle sur $1+\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ peut être évalué par symétrie et propriétés des dérivées partielles. 6. Par symétrie et décroissance rapide de $e^{-(x^2+y^2+z^2)}$, le triple intégrale de la dérivée mixte est nul car les dérivées croisées intégrées sur tout l'espace s'annulent aux bornes. 7. La somme sur $k$ avec $(-1)^k/k!$ et produit complexe converge vers une fonction exponentielle généralisée, mais ici la complexité empêche une forme fermée simple. 8. La somme sur $p$ premiers est une série convergente de logarithmes d'intégrales positives divisées par des produits positifs, donc finie. 9. En conclusion, la limite est une somme finie de termes convergents, et le triple intégrale est nul. 10. Sans simplification supplémentaire possible, la limite est égale à la somme des deux premiers termes, la troisième étant nulle. **Réponse finale :** $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \int_0^\infty \left( \prod_{j=1}^k \sqrt{\int_0^1 \frac{\sum_{m=1}^\infty \sin^{2m}(x) / m^j}{\ln^j(1 + t^m)} dt} \right) e^{-x^2} dx + \sum_{p \text{ premier}} \ln\left(\int_0^1 \frac{t^{p-1}(1 - t)^{p-1} dt}{\prod_{q=1}^p \zeta(q + 1)}\right). $$