1. Énonçons le problème : Trouver le point d'inflexion et la concavité de la fonction $$f(x) = \frac{\ln(x^{2})}{2x}$$. 2. Rappelons que le point d'inflexion est un point où la concavité change, c'est-à-dire où la dérivée seconde s'annule et change de signe. 3. Calculons la fonction explicitement : $$f(x) = \frac{\ln(x^{2})}{2x} = \frac{2\ln|x|}{2x} = \frac{\ln|x|}{x}$$. 4. Calculons la première dérivée $f'(x)$ en utilisant la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(\frac{1}{x}) \cdot x - \ln|x| \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \ln|x|}{x^{2}}$$. 5. Calculons la dérivée seconde $f''(x)$ : $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - \ln|x|}{x^{2}} \right) = \frac{-(\frac{1}{x}) \cdot x^{2} - (1 - \ln|x|) \cdot 2x}{x^{4}}$$ 6. Simplifions le numérateur : $$-x - 2x + 2x \ln|x| = -3x + 2x \ln|x|$$ 7. Donc : $$f''(x) = \frac{-3x + 2x \ln|x|}{x^{4}} = \frac{x(-3 + 2 \ln|x|)}{x^{4}} = \frac{-3 + 2 \ln|x|}{x^{3}}$$ 8. Trouvons les points où $f''(x) = 0$ : $$\frac{-3 + 2 \ln|x|}{x^{3}} = 0 \implies -3 + 2 \ln|x| = 0$$ 9. Résolvons pour $x$ : $$2 \ln|x| = 3 \implies \ln|x| = \frac{3}{2} \implies |x| = e^{\frac{3}{2}}$$ 10. Les points d'inflexion sont donc en $x = e^{\frac{3}{2}}$ et $x = -e^{\frac{3}{2}}$ (mais la fonction n'est définie que pour $x \neq 0$ et $\ln|x|$ est défini pour $x \neq 0$). 11. Pour la concavité, examinons le signe de $f''(x)$ : - Pour $x > 0$, le dénominateur $x^{3} > 0$, donc le signe de $f''(x)$ dépend de $-3 + 2 \ln x$. - Pour $x < 0$, $x^{3} < 0$, donc le signe de $f''(x)$ est opposé au signe de $-3 + 2 \ln|x|$. 12. Ainsi, la fonction est concave vers le haut ou vers le bas selon ces signes, et change de concavité aux points d'inflexion trouvés. **Réponse finale :** Les points d'inflexion sont en $$x = e^{\frac{3}{2}}$$ et $$x = -e^{\frac{3}{2}}$$. La concavité est déterminée par le signe de $$f''(x) = \frac{-3 + 2 \ln|x|}{x^{3}}$$.