1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction $f$ représentée graphiquement. Trois propositions d'amélioration du motif sont données : - PROPOSITION 1 : $g(x) = f(x - 2) - 3$ - PROPOSITION 2 : $h(x) = |f(x)|$ - PROPOSITION 3 : $m(x) = f(|x|)$ Nous devons représenter graphiquement les fonctions $g$, $h$ et $m$ dans le même repère que $f$. 2. **Rappel des transformations de fonctions :** - $f(x - a)$ correspond à une translation horizontale de $a$ unités vers la droite. - $f(x) - b$ correspond à une translation verticale de $b$ unités vers le bas. - $|f(x)|$ prend la valeur absolue de l'image, ce qui reflète la partie négative de $f$ au-dessus de l'axe des abscisses. - $f(|x|)$ remplace $x$ par sa valeur absolue, ce qui symétrise la fonction par rapport à l'axe $y$. 3. **PROPOSITION 1 : $g(x) = f(x - 2) - 3$** - La fonction $f(x - 2)$ est la fonction $f$ translatée de 2 unités vers la droite. - Ensuite, on soustrait 3, ce qui déplace la courbe de 3 unités vers le bas. - Donc, pour chaque point $(x, y)$ de $f$, le point correspondant sur $g$ est $(x + 2, y - 3)$. 4. **PROPOSITION 2 : $h(x) = |f(x)|$** - Pour chaque $x$, on prend la valeur absolue de $f(x)$. - Cela signifie que toutes les parties de la courbe de $f$ situées sous l'axe des $x$ sont réfléchies au-dessus de cet axe. - La partie positive de $f$ reste inchangée. 5. **PROPOSITION 3 : $m(x) = f(|x|)$** - Pour $x \\geq 0$, $m(x) = f(x)$. - Pour $x < 0$, $m(x) = f(-x)$. - Cela crée une symétrie de la partie droite de la courbe $f$ par rapport à l'axe $y$. **Résumé des motifs :** - $g$ est $f$ déplacée à droite de 2 et vers le bas de 3. - $h$ est $f$ avec la partie négative reflétée au-dessus de l'axe $x$. - $m$ est $f$ symétrisée par rapport à l'axe $y$. **Finalement, ces transformations permettent d'améliorer le motif graphique en ajoutant des variations visuelles intéressantes.