1. **Énoncé du problème :** Trouver les racines du polynôme $P(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ et localiser ces racines dans des intervalles disjoints. 2. **Formule et règles importantes :** Pour localiser les racines d'un polynôme, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires : si $P(a)$ et $P(b)$ ont des signes opposés, alors il existe au moins une racine dans l'intervalle $[a,b]$. 3. **Calcul des valeurs aux points entiers :** Calculons $P(x)$ pour quelques valeurs entières pour détecter les changements de signe : - $P(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) + 1 = -64 + 48 + 36 + 1 = 21 > 0$ - $P(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28 > 0$ - $P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 9(-2) + 1 = -8 + 12 + 18 + 1 = 23 > 0$ - $P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 + 3 + 9 + 1 = 12 > 0$ - $P(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 > 0$ - $P(1) = 1 + 3 - 9 + 1 = -4 < 0$ - $P(2) = 8 + 12 - 18 + 1 = 3 > 0$ - $P(3) = 27 + 27 - 27 + 1 = 28 > 0$ 4. **Localisation des racines :** - Entre $0$ et $1$, $P(0) = 1 > 0$ et $P(1) = -4 < 0$, donc une racine dans $[0,1]$. - Entre $1$ et $2$, $P(1) = -4 < 0$ et $P(2) = 3 > 0$, donc une racine dans $[1,2]$. Pour la troisième racine, testons entre $-4$ et $-3$ : - $P(-4) = 21 > 0$, $P(-3) = 28 > 0$ pas de changement de signe. Entre $-3$ et $-2$ : $P(-3) = 28 > 0$, $P(-2) = 23 > 0$ pas de changement. Entre $-2$ et $-1$ : $P(-2) = 23 > 0$, $P(-1) = 12 > 0$ pas de changement. Entre $-1$ et $0$ : $P(-1) = 12 > 0$, $P(0) = 1 > 0$ pas de changement. Testons entre $-5$ et $-4$ : - $P(-5) = (-125) + 75 + 45 + 1 = -4 < 0$, $P(-4) = 21 > 0$, donc une racine dans $[-5,-4]$. 5. **Conclusion sur la localisation :** Les racines sont dans les intervalles disjoints : - $[-5,-4]$ - $[0,1]$ - $[1,2]$ 6. **Approximation par la méthode de dichotomie de la racine de plus petit module (celle dans $[0,1]$) à $10^{-2}$ près :** - Initialisation : $a=0$, $b=1$, tolérance $=0.01$ - Étape 1 : $m = \frac{a+b}{2} = 0.5$, $P(0.5) = 0.125 + 0.75 - 4.5 + 1 = -2.625 < 0$ - Comme $P(a)=1 > 0$ et $P(m) = -2.625 < 0$, la racine est dans $[0,0.5]$. - Étape 2 : $a=0$, $b=0.5$, $m=0.25$, $P(0.25) = 0.015625 + 0.1875 - 2.25 + 1 = -1.046875 < 0$ - Racine dans $[0,0.25]$ car $P(a)=1 > 0$, $P(m) < 0$. - Étape 3 : $a=0$, $b=0.25$, $m=0.125$, $P(0.125) = 0.001953125 + 0.046875 - 1.125 + 1 = -0.076171875 < 0$ - Racine dans $[0,0.125]$. - Étape 4 : $a=0$, $b=0.125$, $m=0.0625$, $P(0.0625) = 0.000244 + 0.0117 - 0.5625 + 1 = 0.4494 > 0$ - Racine dans $[0.0625,0.125]$ car $P(a) > 0$, $P(m) < 0$. - Étape 5 : $a=0.0625$, $b=0.125$, $m=0.09375$, $P(0.09375) = 0.000823 + 0.0264 - 0.84375 + 1 = 0.1835 > 0$ - Racine dans $[0.09375,0.125]$. - Étape 6 : $a=0.09375$, $b=0.125$, $m=0.109375$, $P(0.109375) = 0.0013 + 0.0358 - 0.9844 + 1 = 0.0527 > 0$ - Racine dans $[0.109375,0.125]$. - Étape 7 : $a=0.109375$, $b=0.125$, $m=0.1171875$, $P(0.1171875) = 0.0016 + 0.0412 - 1.0547 + 1 = -0.0119 < 0$ - Racine dans $[0.109375,0.1171875]$. - Étape 8 : $a=0.109375$, $b=0.1171875$, $m=0.11328125$, $P(0.11328125) = 0.00145 + 0.0385 - 1.0195 + 1 = 0.0203 > 0$ - Racine dans $[0.11328125,0.1171875]$. - Étape 9 : $a=0.11328125$, $b=0.1171875$, $m=0.115234375$, $P(0.115234375) = 0.0015 + 0.0398 - 1.0371 + 1 = 0.0042 > 0$ - Racine dans $[0.115234375,0.1171875]$. - Étape 10 : $a=0.115234375$, $b=0.1171875$, $m=0.1162109375$, $P(0.1162109375) = 0.0015 + 0.0405 - 1.0459 + 1 = -0.0038 < 0$ - Intervalle final $[0.115234375,0.1162109375]$ de largeur $ 0.0009765625 < 0.01$. 7. **Réponse finale :** La racine de plus petit module est approximativement $0.12$ à $10^{-2}$ près.