1. **Énoncé du problème :** Déterminer si la limite de $f(x) = (x+1)e^{-x}$ en $+\infty$ est $+\infty$. 2. **Formule et règles :** Pour étudier la limite de $f(x)$ en $+\infty$, on analyse le comportement de chaque facteur : $x+1$ tend vers $+\infty$ et $e^{-x}$ tend vers 0. 3. **Travail intermédiaire :** $$f(x) = (x+1)e^{-x} = \frac{x+1}{e^x}$$ Quand $x \to +\infty$, $e^x$ croît plus vite que $x+1$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{e^x} = 0$$ 4. **Conclusion :** L'affirmation 1 est fausse car la limite est 0, pas $+\infty$. --- 1. **Énoncé :** La fonction $g(x) = xe^x$ est-elle convexe sur $[-2, +\infty[$ ? 2. **Formule :** La convexité est déterminée par le signe de la dérivée seconde $g''(x)$. 3. **Calculs :** $$g'(x) = e^x + xe^x = e^x(1+x)$$ $$g''(x) = e^x(1+x) + e^x = e^x(2+x)$$ 4. **Analyse :** Sur $[-2, +\infty[$, $2+x \geq 0$ car $x \geq -2$, donc $g''(x) \geq 0$. 5. **Conclusion :** $g$ est convexe sur $[-2, +\infty[$. Affirmation 2 est vraie. --- 1. **Énoncé :** Vérifier si $$\int_0^\pi x \sin x \, dx = -\pi$$ 2. **Formule :** Intégration par parties : $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. **Choix :** $u = x$, $dv = \sin x \, dx$ donc $du = dx$, $v = -\cos x$ 4. **Calcul :** $$\int_0^\pi x \sin x \, dx = [-x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \, dx$$ $$= [-\pi \cos \pi + 0] + [\sin x]_0^\pi = [-\pi (-1)] + (0 - 0) = \pi$$ 5. **Conclusion :** L'affirmation 3 est fausse car l'intégrale vaut $\pi$, pas $-\pi$. --- 1. **Énoncé :** Vérifier si $h(x) = -\frac{3}{2} e^{2x} + \frac{5}{2}$ est solution de $y' = 2y - 5$ avec $h(0) = 1$. 2. **Calcul de $h'(x)$ :** $$h'(x) = -\frac{3}{2} \times 2 e^{2x} = -3 e^{2x}$$ 3. **Calcul de $2h(x) - 5$ :** $$2h(x) - 5 = 2 \left(-\frac{3}{2} e^{2x} + \frac{5}{2} \right) - 5 = -3 e^{2x} + 5 - 5 = -3 e^{2x}$$ 4. **Vérification :** $$h'(x) = 2h(x) - 5$$ 5. **Valeur initiale :** $$h(0) = -\frac{3}{2} e^0 + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1$$ 6. **Conclusion :** Affirmation 4 est vraie. --- 1. **Énoncé :** Vérifier si la fonction Python mystere renvoie 120 pour mystere(5). 2. **Analyse :** La fonction calcule la factorielle de $n$ : $f = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$. 3. **Conclusion :** Affirmation 5 est vraie. **Résumé final :** - Affirmation 1 : fausse - Affirmation 2 : vraie - Affirmation 3 : fausse - Affirmation 4 : vraie - Affirmation 5 : vraie