1. **Stel het probleem vast:** We zoeken de kleinst mogelijke afstand tussen een punt $P_1 = (x_1,y_1,z_1)$ op oppervlak $O_1$ en een punt $P_2 = (x_2,y_2,z_2)$ op oppervlak $O_2$. 2. **Formule voor afstand:** De afstand tussen $P_1$ en $P_2$ is $$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$$ We minimaliseren $d^2$ om de wortel te vermijden: $$f = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2$$ 3. **Randvoorwaarden:** De punten liggen op de oppervlakken: $$g_1(x_1,y_1,z_1) = x_1^2 + y_1^2 - z_1 + 2 = 0$$ $$g_2(x_2,y_2,z_2) = -2x_2 + 2y_2 + z_2 + 4 = 0$$ 4. **Lagrangefunctie opstellen:** $$L = f - \lambda g_1 - \mu g_2$$ waar $\lambda, \mu$ Lagrangemultiplicatoren zijn. 5. **Partiële afgeleiden van $L$ instellen op nul:** \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial x_1} &= 2(x_1 - x_2) - \lambda (2x_1) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y_1} &= 2(y_1 - y_2) - \lambda (2y_1) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z_1} &= 2(z_1 - z_2) + \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_2} &= -2(x_1 - x_2) - \mu (-2) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y_2} &= -2(y_1 - y_2) - \mu (2) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z_2} &= -2(z_1 - z_2) - \mu = 0 \end{align*} 6. **Los de vergelijkingen op:** Van de eerste drie: $$2(x_1 - x_2) = 2\lambda x_1 \Rightarrow (x_1 - x_2) = \lambda x_1$$ $$2(y_1 - y_2) = 2\lambda y_1 \Rightarrow (y_1 - y_2) = \lambda y_1$$ $$2(z_1 - z_2) = -\lambda \Rightarrow (z_1 - z_2) = -\frac{\lambda}{2}$$ Van de laatste drie: $$-2(x_1 - x_2) = -2\mu \Rightarrow (x_1 - x_2) = \mu$$ $$-2(y_1 - y_2) = 2\mu \Rightarrow (y_1 - y_2) = -\mu$$ $$-2(z_1 - z_2) = \mu \Rightarrow (z_1 - z_2) = -\frac{\mu}{2}$$ 7. **Vergelijk de uitdrukkingen voor $(x_1 - x_2)$, $(y_1 - y_2)$, $(z_1 - z_2)$:** $$\lambda x_1 = \mu$$ $$\lambda y_1 = -\mu$$ $$-\frac{\lambda}{2} = -\frac{\mu}{2} \Rightarrow \lambda = \mu$$ 8. **Substitueer $\mu = \lambda$ in de eerste twee:** $$\lambda x_1 = \lambda \Rightarrow x_1 = 1$$ $$\lambda y_1 = -\lambda \Rightarrow y_1 = -1$$ 9. **Gebruik randvoorwaarde $g_1$ om $z_1$ te vinden:** $$x_1^2 + y_1^2 - z_1 + 2 = 0 \Rightarrow 1^2 + (-1)^2 - z_1 + 2 = 0$$ $$1 + 1 - z_1 + 2 = 0 \Rightarrow 4 - z_1 = 0 \Rightarrow z_1 = 4$$ 10. **Gebruik $(x_1 - x_2) = \lambda$ en $x_1=1$ om $x_2$ te vinden:** $$x_2 = x_1 - \lambda = 1 - \lambda$$ 11. **Gebruik $(y_1 - y_2) = -\lambda$ en $y_1 = -1$ om $y_2$ te vinden:** $$y_2 = y_1 + \lambda = -1 + \lambda$$ 12. **Gebruik $(z_1 - z_2) = -\frac{\lambda}{2}$ en $z_1=4$ om $z_2$ te vinden:** $$z_2 = z_1 + \frac{\lambda}{2} = 4 + \frac{\lambda}{2}$$ 13. **Gebruik randvoorwaarde $g_2$ om $\lambda$ te vinden:** $$-2x_2 + 2y_2 + z_2 + 4 = 0$$ Substitueer: $$-2(1 - \lambda) + 2(-1 + \lambda) + 4 + \frac{\lambda}{2} + 4 = 0$$ $$-2 + 2\lambda - 2 + 2\lambda + 4 + \frac{\lambda}{2} + 4 = 0$$ $$(-2 - 2 + 4 + 4) + (2\lambda + 2\lambda + \frac{\lambda}{2}) = 0$$ $$4 + \frac{9\lambda}{2} = 0$$ 14. **Los op voor $\lambda$:** $$\frac{9\lambda}{2} = -4 \Rightarrow \lambda = -\frac{8}{9}$$ 15. **Bereken $x_2, y_2, z_2$:** $$x_2 = 1 - \left(-\frac{8}{9}\right) = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}$$ $$y_2 = -1 + \left(-\frac{8}{9}\right) = -1 - \frac{8}{9} = -\frac{17}{9}$$ $$z_2 = 4 + \frac{-8/9}{2} = 4 - \frac{4}{9} = \frac{32}{9}$$ 16. **Bereken de afstand:** $$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$$ $$= \sqrt{\left(1 - \frac{17}{9}\right)^2 + \left(-1 + \frac{17}{9}\right)^2 + \left(4 - \frac{32}{9}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\left(-\frac{8}{9}\right)^2 + \left(-\frac{8}{9}\right)^2 + \left(\frac{4}{9}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\frac{64}{81} + \frac{64}{81} + \frac{16}{81}} = \sqrt{\frac{144}{81}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ **Antwoord:** De kleinst mogelijke afstand is $\boxed{\frac{4}{3}}$.