1. **Énoncé du problème Partie 2 :** Soit $f(x) = x + \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ définie sur $D_f = ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$. 2. **Domaine de définition :** Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que $\frac{x-1}{x+1} > 0$ et $x+1 \neq 0$. - $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. - $\frac{x-1}{x+1} > 0$ signifie que $x-1$ et $x+1$ ont le même signe. Sur $]-\infty;-1[$, $x+1 < 0$ et $x-1 < 0$, donc le quotient est positif. Sur $]1;+\infty[$, $x+1 > 0$ et $x-1 > 0$, donc le quotient est positif. Ainsi, $D_f = ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$. 3. **(a) Montrer que $f$ est impaire :** Calculons $f(-x)$ pour $x \in D_f$ : $$ f(-x) = -x + \ln\left(\frac{-x - 1}{-x + 1}\right) = -x + \ln\left(\frac{-(x+1)}{-(x-1)}\right) = -x + \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) $$ Or, $$ \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = -\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) $$ Donc, $$ f(-x) = -x - \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -f(x) $$ Donc $f$ est impaire. 4. **(b) Limites :** - Limite en $+\infty$ : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right) = +\infty $$ car $\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \to \ln(1) = 0$. - Limite à droite en 1 : $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + \lim_{x \to 1^+} \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = 1 + \ln(0^+) = -\infty $$ 5. **(c) Dérivée de $f$ :** $$ f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = 1 + \frac{\frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}}{\frac{x-1}{x+1}} = 1 + \frac{\frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}}{\frac{x-1}{x+1}} $$ Simplifions : $$ = 1 + \frac{\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}}{\frac{x-1}{x+1}} = 1 + \frac{\frac{2}{(x+1)^2}}{\frac{x-1}{x+1}} = 1 + \frac{2}{(x+1)^2} \times \frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{(x+1)(x-1)} $$ Or, $$ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 $$ Donc, $$ f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $$ La formule donnée dans l'énoncé est $f'(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 1}$, vérifions : Reprenons le calcul de la dérivée de $\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ : $$ \frac{d}{dx} \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x-1)(x+1)} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 - x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 1} $$ Donc, $$ f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $$ L'énoncé semble contenir une erreur, la dérivée correcte est $$ f'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $$ 6. **Tableau de variations sur $]1; +\infty[$ :** - Le dénominateur $x^2 - 1 > 0$ pour $x > 1$. - Le numérateur $x^2 + 1 > 0$ toujours. Donc $f'(x) > 0$ sur $]1; +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. 7. **(d) Asymptote oblique $y = x$ :** Calculons $$ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \ln(1) = 0 $$ Donc la droite $y = x$ est une asymptote oblique à la courbe $C_f$. 8. **(e) Position relative de $C_f$ et de $y = x$ :** Étudions le signe de $$ f(x) - x = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) $$ Pour $x > 1$, $\frac{x-1}{x+1} < 1$, donc $\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) < 0$. Donc $f(x) < x$ pour $x > 1$, la courbe est en dessous de la droite asymptote. 9. **(f) Tracé de $C_f$ :** Le tracé n'est pas demandé ici, mais on sait que $f$ est impaire, croissante sur $]1; +\infty[$, avec asymptote oblique $y = x$. --- **Partie 3 : Étude de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = f(u_n)$** 1. **Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, \sqrt{3} \leq u_n$ :** - Initialisation : $u_0 = 3 \geq \sqrt{3}$. - Hérédité : Supposons $u_n \geq \sqrt{3}$. Montrons $u_{n+1} = f(u_n) \geq \sqrt{3}$. Calculons $f(\sqrt{3})$ : $$ f(\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right) $$ Or, $$ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2} $$ Calculons numériquement : $\sqrt{3} \approx 1.732$, donc $$ \frac{1.732 - 1}{1.732 + 1} = \frac{0.732}{2.732} \approx 0.268 $$ Donc $$ \ln(0.268) \approx -1.32 $$ Donc $$ f(\sqrt{3}) \approx 1.732 - 1.32 = 0.412 < \sqrt{3} $$ Cela semble contredire l'inégalité. Reprenons l'énoncé : il faut montrer $u_n \geq \sqrt{3}$ pour tout $n$. Or $u_0 = 3 \geq \sqrt{3}$. Si $f$ est croissante sur $[\sqrt{3}, +\infty[$ et $f(\sqrt{3}) \geq \sqrt{3}$, alors $u_n \geq \sqrt{3}$ implique $u_{n+1} = f(u_n) \geq f(\sqrt{3}) \geq \sqrt{3}$. Vérifions $f(\sqrt{3}) \geq \sqrt{3}$ : Calcul exact : $$ f(\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right) $$ Le quotient est $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1.732 - 1}{1.732 + 1} = \frac{0.732}{2.732} \approx 0.268$. $\ln(0.268) \approx -1.32$. Donc $f(\sqrt{3}) \approx 1.732 - 1.32 = 0.412 < \sqrt{3}$. Donc $f(\sqrt{3}) < \sqrt{3}$, la fonction n'est pas croissante sur $[\sqrt{3}, +\infty[$. Il faut donc vérifier autrement. On sait que $f$ est croissante sur $]1; +\infty[$. Donc pour $u_n \geq 3$, $u_{n+1} = f(u_n) \geq f(3)$. Calculons $f(3)$ : $$ f(3) = 3 + \ln\left(\frac{3-1}{3+1}\right) = 3 + \ln\left(\frac{2}{4}\right) = 3 + \ln(0.5) = 3 - 0.693 = 2.307 $$ Donc $u_1 = f(3) = 2.307 < 3$, la suite décroît. Cela contredit la croissance. L'énoncé demande de montrer que la suite est croissante, or $u_1 < u_0$. Il y a une incohérence dans l'énoncé ou dans la fonction $f$. 10. **(b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante :** Vu les calculs précédents, la suite semble décroissante. 11. **(c) (a) Montrer que $u_{n+1} - u_n \geq \ln(2 + \sqrt{3})$ :** Sans cohérence dans la croissance, cette inégalité ne peut être démontrée. 12. **(c) (b) En déduire la limite de $(u_n)$ :** Sans croissance ni convergence claire, la limite ne peut être déterminée. --- **Résumé :** - Partie 2 : domaine, impaire, limites, dérivée corrigée, variations, asymptote, position relative. - Partie 3 : incohérences dans les hypothèses données sur la suite $(u_n)$ avec la fonction $f$ définie.