1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x \arctan(x)$ et la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{3}$ et $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n}$. --- ### Exercice 1 : Fonction $f(x) = x \arctan(x)$ 1. (a) **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction $\arctan(x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $f$ est définie sur $D_f = \mathbb{R}$. (b) **Parité de $f$ :** On sait que $\arctan(-x) = -\arctan(x)$ (fonction impaire) et $x$ est impair. Donc $$f(-x) = (-x) \arctan(-x) = -x (-\arctan(x)) = x \arctan(x) = f(x).$$ Donc $f$ est une fonction paire. (c) **Domaine de dérivabilité et dérivée $f'$ :** $\arctan(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $f$ aussi. La dérivée est $$f'(x) = \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan(x) + \frac{x}{1+x^2}.$$ --- 2. **Tableau de variation de $f'$ sur $[0,+\infty[$ :** Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[0,+\infty[$. Calculons $f''(x)$ pour étudier la monotonie de $f'$ : $$f''(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{(1+x^2) - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.$$ Pour $x \geq 0$, on peut analyser le signe de $f''(x)$ pour dresser le tableau de variation de $f'$. --- 3. **Montrer que $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ :** On remarque que $f'(0) = \arctan(0) + 0 = 0$ et que $f''(x) > 0$ pour $x > 0$ (car les termes sont positifs ou dominants), donc $f'$ est croissante sur $[0,+\infty[$ et $f'(x) \geq 0$. --- 4. **Tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :** Puisque $f$ est paire et $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$, $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty,0]$ par symétrie. --- 5. **Solutions de l'équation $f(x) = 1$ :** Comme $f$ est continue, paire, et strictement croissante sur $[0,+\infty[$, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions symétriques dans $\mathbb{R}$. --- ### Exercice 2 : Suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{3}$ et $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1 + U_n}$ 1. **Étude de la fonction $g(x) = \frac{2x}{1+x}$ :** Domaine : $x \neq -1$, ici on s'intéresse à $x \geq 0$. Dérivée : $$g'(x) = \frac{2(1+x) - 2x}{(1+x)^2} = \frac{2}{(1+x)^2} > 0,$$ donc $g$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$. 2. (a) **Stabilité de $[0,1]$ par $g$ :** Pour $x \in [0,1]$, $$g(x) = \frac{2x}{1+x} \leq \frac{2 \cdot 1}{1+1} = 1,$$ et $g(x) \geq 0$ car $x \geq 0$. Donc $g([0,1]) \subseteq [0,1]$. (b) **Définition de la suite :** Puisque $U_0 = \frac{1}{3} \in [0,1]$ et $g$ stabilise $[0,1]$, la suite $(U_n)$ est bien définie et reste dans $[0,1]$. (c) **Inégalité $0 < U_n < 1$ :** Par récurrence, $U_n \in (0,1)$ pour tout $n$. 3. (a) **Monotonie de $(U_n)$ :** Comme $g$ est croissante et $U_0 > 0$, on montre par récurrence que $(U_n)$ est croissante. (b) **Convergence et limite :** La suite est croissante et majorée par 1, donc convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} U_n$, alors $$\ell = \frac{2\ell}{1+\ell} \Rightarrow \ell(1+\ell) = 2\ell \Rightarrow \ell + \ell^2 = 2\ell \Rightarrow \ell^2 - \ell = 0 \Rightarrow \ell(\ell - 1) = 0.$$ Comme $U_n > 0$, $\ell = 1$. --- **Réponses finales :** - Domaine de $f$ : $\mathbb{R}$. - $f$ est paire. - $f'(x) = \arctan(x) + \frac{x}{1+x^2}$. - $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$. - $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$. - L'équation $f(x) = 1$ a exactement deux solutions réelles. - La suite $(U_n)$ est croissante, dans $(0,1)$, et converge vers 1.