دوال مشتقة

1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا الدالة $f$ المعرفة على المجال $[-3;3]$ مع قيم ونقاط تغير كما في الجدول. 2. تعريف الدوال الجديدة: - $i(x) = f(|x|)$: تأخذ القيمة عند القيمة المطلقة لـ $x$. - $L(x) = |f(x)|$: القيمة المطلقة لـ $f(x)$. - $k(x) = \frac{1}{f(x)}$: مقلوب الدالة $f(x)$ عندما لا يكون $f(x)=0$. - $h(x) = -f(x)$: عكس إشارة $f(x)$. - $g(x) = [f(x)]^2$: مربع قيمة $f(x)$. 3. تحليل $i(x) = f(|x|)$: - لأن $i(x)$ تعتمد على القيمة المطلقة، فإن لـ $x<0$ فإن $i(x) = f(-x)$. - بالتالي على $[-3;0]$, $i(x) = f(-x)$ تقابل قيم $f$ على $[0;3]$. - على $[0;3]$, $i(x) = f(x)$. نحسب نقاط $i(x)$: | $x$ | $i(x)=f(|x|)$ | |---|------------| | -3 | $f(3) = -1$ | | -2 | $f(2) = 0$ | | -1 | $f(1) = 1$ | | 0 | $f(0)$ غير معطى ولكن يمكن تقريبًا لأجل الرسم | | 1 | $f(1) = 1$ | | 2 | $f(2) = 0$ | | 3 | $f(3) = -1$ | 4. تحليل $L(x) = |f(x)|$: - فقط نأخذ القيمة المطلقة للقيم المعطاة: | $x$ | $f(x)$ | $L(x) = |f(x)|$ | |---|-------|---------------| | -3 | 2 | 2 | | -1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | | 2 | 0 | 0 | | 3 | -1 | 1 | 5. تحليل $k(x) = \frac{1}{f(x)}$: - يحذر من نقاط حيث $f(x)=0$ لأن القسمة تصبح غير معرفة عند $x=-1$ و $x=2$. - عند باقي النقاط: | $x$ | $f(x)$ | $k(x)$ | |---|-------|-------| | -3 | 2 | $\frac{1}{2}$ | | 1 | 1 | 1 | | 3 | -1 | -1 | 6. تحليل $h(x) = -f(x)$: قيمة $h(x)$ هي فقط عكس إشارة $f(x)$: | $x$ | $f(x)$ | $h(x) = -f(x)$ | |---|-------|-----------| | -3 | 2 | -2 | | -1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | -1 | | 2 | 0 | 0 | | 3 | -1 | 1 | 7. تحليل $g(x) = [f(x)]^2$: - مربع قيمة $f(x)$، لذا جميع القيم موجبة: | $x$ | $f(x)$ | $g(x)$ | |---|-------|-------| | -3 | 2 | 4 | | -1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | | 2 | 0 | 0 | | 3 | -1 | 1 | هذا يعطي فكرة واضحة عن سلوك الدوال الجديدة المستخلصة من $f$. الـــــــــــــــــــــــــــــخلــــــــص: - $i(x)$ تعتمد على القيمة المطلقة لـ $x$. - $L(x)$ القيم المطلقة لـ $f(x)$. - $k(x)$ مقلوب $f(x)$ مع نقاط عدم التعريف حيث $f(x)=0$. - $h(x)$ عكس إشارة $f(x)$. - $g(x)$ مربع قيمة $f(x)$.