1. **Problem:** Füllen Sie die Tabelle für $f(x) = u(v(x))$ aus. 2. **Formeln und Regeln:** - Kettenregel: $$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$$ - Ableitung von $e^x$ ist $e^x$. - Ableitung von Potenzen: $\frac{d}{dx} (g(x))^n = n (g(x))^{n-1} g'(x)$. - Ableitung von Wurzel: $\frac{d}{dx} \sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2 \sqrt{g(x)}}$. - Ableitung von Quotienten: $\frac{d}{dx} \frac{a}{b} = \frac{a' b - a b'}{b^2}$. 3. **Lösung der Tabelle:** | $f(x)$ | $v(x)$ | $v'(x)$ | $u(x)$ | $u'(x)$ | $u'(v(x))$ | $f'(x)$ | |--------------|----------|---------------|----------|------------------|----------------------|-------------------------------------------| | $e^{x^2+3}$ | $x^2+3$ | $2x$ | $e^x$ | $e^x$ | $e^{x^2+3}$ | $e^{x^2+3} \cdot 2x = 2x e^{x^2+3}$ | | $(2x+9)^4$ | $2x+9$ | $2$ | $x^4$ | $4x^3$ | $(2x+9)^3$ | $4(2x+9)^3 \cdot 2 = 8(2x+9)^3$ | | $\sqrt{x^2+1}$ | $x^2+1$ | $2x$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ | | $2e^{3x}$ | $3x$ | $3$ | $2e^x$ | $2e^x$ | $2e^{3x}$ | $2e^{3x} \cdot 3 = 6e^{3x}$ | | $\frac{3}{(1-2x)^4}$ | $1-2x$ | $-2$ | $\frac{3}{x^4}$ | $-\frac{12}{x^5}$ | $\frac{3}{(1-2x)^4}$ | $-\frac{12}{(1-2x)^5} \cdot (-2) = \frac{24}{(1-2x)^5}$ (using quotient rule) | --- 4. **Aufgabe 2a:** - Gegeben: $f(x) = 0.5 e^{5x}$ - Innere Funktion: $v(x) = 5x$, $v'(x) = 5$ - Äußere Funktion: $u(x) = 0.5 e^x$, $u'(x) = 0.5 e^x$ - $u'(v(x)) = 0.5 e^{5x}$ - Ableitung: $$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 0.5 e^{5x} \cdot 5 = 2.5 e^{5x}$$ 5. **Aufgabe 2b:** - Gegeben: $f(x) = -3 \sqrt{2x + 8}$ - Innere Funktion: $v(x) = 2x + 8$, $v'(x) = 2$ - Äußere Funktion: $u(x) = -3 \sqrt{x}$, $u'(x) = -\frac{3}{2 \sqrt{x}}$ - $u'(v(x)) = -\frac{3}{2 \sqrt{2x + 8}}$ - Ableitung: $$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -\frac{3}{2 \sqrt{2x + 8}} \cdot 2 = -\frac{3}{\sqrt{2x + 8}}$$ 6. **Aufgabe 3:** a) $f(x) = \frac{1}{3} e^{3x^2 + 1}$ - Innere Funktion: $v(x) = 3x^2 + 1$, $v'(x) = 6x$ - Äußere Funktion: $u(x) = \frac{1}{3} e^x$, $u'(x) = \frac{1}{3} e^x$ - Ableitung: $$f'(x) = 6x \cdot \frac{1}{3} e^{3x^2 + 1} = 2x e^{3x^2 + 1}$$ b) $g(x) = 2 e^{5x - 3}$ - Innere Funktion: $v(x) = 5x - 3$, $v'(x) = 5$ - Äußere Funktion: $u(x) = 2 e^x$, $u'(x) = 2 e^x$ - Ableitung: $$g'(x) = 5 \cdot 2 e^{5x - 3} = 10 e^{5x - 3}$$ c) $h(x) = 8 \sqrt{1 - x}$ - Innere Funktion: $v(x) = 1 - x$, $v'(x) = -1$ - Äußere Funktion: $u(x) = 8 \sqrt{x}$, $u'(x) = \frac{8}{2 \sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$ - Ableitung: $$h'(x) = -1 \cdot \frac{4}{\sqrt{1 - x}} = -\frac{4}{\sqrt{1 - x}}$$ (d) $i(x) = \frac{1}{2x + 5}$ - Innere Funktion: $v(x) = 2x + 5$, $v'(x) = 2$ - Äußere Funktion: $u(x) = \frac{1}{x}$, $u'(x) = -\frac{1}{x^2}$ - Ableitung: $$i'(x) = -2 \cdot \frac{1}{(2x + 5)^2} = -\frac{2}{(2x + 5)^2}$$ 7. **Aufgabe 4:** Ableitungen und Vereinfachungen a) $f(x) = 8 e^{1 - x}$ - Innere Funktion: $v(x) = 1 - x$, $v'(x) = -1$ - Äußere Funktion: $u(x) = 8 e^x$, $u'(x) = 8 e^x$ - Ableitung: $$f'(x) = 8 e^{1 - x} \cdot (-1) = -8 e^{1 - x}$$ b) $g(x) = \sqrt{3x^2 - 9}$ - Innere Funktion: $v(x) = 3x^2 - 9$, $v'(x) = 6x$ - Äußere Funktion: $u(x) = \sqrt{x}$, $u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ - Ableitung: $$g'(x) = \frac{6x}{2 \sqrt{3x^2 - 9}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 - 9}}$$ c) $h(x) = \frac{5}{2x + 7}$ - Innere Funktion: $v(x) = 2x + 7$, $v'(x) = 2$ - Äußere Funktion: $u(x) = \frac{5}{x}$, $u'(x) = -\frac{5}{x^2}$ - Ableitung: $$h'(x) = -\frac{5 \cdot 2}{(2x + 7)^2} = -\frac{10}{(2x + 7)^2}$$ d) $i(x) = \frac{5}{(2x + 7)^3}$ - Innere Funktion: $v(x) = (2x + 7)^3$, $v'(x) = 3(2x + 7)^2 \cdot 2 = 6(2x + 7)^2$ - Äußere Funktion: $u(x) = \frac{5}{x}$, $u'(x) = -\frac{5}{x^2}$ - Ableitung: $$i'(x) = -\frac{5 \cdot 6 (2x + 7)^2}{(2x + 7)^6} = -\frac{30}{(2x + 7)^4}$$ 8. **Aufgabe 5 Fehlerkorrektur:** a) $f(x) = \frac{3}{(x + 1)^2}$ - Falsche Ableitung: $f'(x) = -\frac{6}{x + 1}$ - Korrekt: $$f'(x) = -6 \cdot \frac{1}{(x + 1)^3} = -\frac{6}{(x + 1)^3}$$ b) $g(x) = 4 e^{x^2 + 1}$ - Falsche Ableitung: $g'(x) = 8 e^{x^2 + 1}$ - Korrekt: $$g'(x) = 4 e^{x^2 + 1} \cdot 2x = 8x e^{x^2 + 1}$$ 9. **Aufgabe 6 Zuordnung der Graphen:** - Fig. 1 (Parabel, Scheitel bei (1,0)): $g(x) = (x-1)^2$ - Fig. 2 (Lineare Funktion): $f(x) = 2x - 2$ - Fig. 3 (Kubische S-Kurve): $h(x) = (x-1)^3$ - Fig. 4 (Parabel, Scheitel bei (1,0)): $g'(x) = 2(x-1)$ 10. **Aufgabe 7:** $f(x) = \frac{1}{2} (x-5)^4$, $f'(x) = 2 (x-5)^3$ $g(x) = -\frac{1}{x^2 - 4}$, $g'(x) = \frac{2x}{(x^2 - 4)^2}$ (a) Werte berechnen: - $f'(0) = 2 (0-5)^3 = 2 (-5)^3 = 2 (-125) = -250$ - $f'(1) = 2 (1-5)^3 = 2 (-4)^3 = 2 (-64) = -128$ - $g'(1) = \frac{2 \cdot 1}{(1 - 4)^2} = \frac{2}{9} = 0.222...$ - $g'(-1) = \frac{2 \cdot (-1)}{(1 - 4)^2} = -\frac{2}{9} = -0.222...$ (b) Steigung 2 bei $f$: $$2 (x-5)^3 = 2 \Rightarrow (x-5)^3 = 1 \Rightarrow x-5 = 1 \Rightarrow x = 6$$ (c) Waagrechte Tangente bei $f$: $$f'(x) = 0 \Rightarrow 2 (x-5)^3 = 0 \Rightarrow x = 5$$ (d) Monotonie von $g$: - $g'(x) = \frac{2x}{(x^2 - 4)^2}$ - Nenner positiv außer bei $x=\pm 2$ (nicht definiert) - $g'(x) < 0$ für $x < 0$ (streng fallend) - $g'(x) > 0$ für $x > 0$ (streng steigend) (e) Extremstellen von $g$: - $g'(x) = 0$ bei $x=0$ - $x=0$ ist Minimum, da $g'(x)$ wechselt von negativ zu positiv 11. **Aufgabe 8:** - Gesucht: Funktionen mit $f'(x) = e^{0.5x + 1}$ $f_1(x) = e^{0.5x + 1}$ - Ableitung: $f_1'(x) = 0.5 e^{0.5x + 1} \neq e^{0.5x + 1}$ $f_2(x) = 2 e^{0.5x + 1}$ - Ableitung: $f_2'(x) = 2 \cdot 0.5 e^{0.5x + 1} = e^{0.5x + 1}$ (passt) $f_3(x) = 2 e^{0.5x + 1} + 2$ - Ableitung: $f_3'(x) = e^{0.5x + 1}$ (passt) $f_4(x) = 0.5 e^{x + 1}$ - Ableitung: $f_4'(x) = 0.5 e^{x + 1} \neq e^{0.5x + 1}$ **Antwort:** $f_2$ und $f_3$ haben die Ableitung $f'(x) = e^{0.5x + 1}$. --- "Final answer": Tabelle ausgefüllt, Aufgaben 2 bis 8 gelöst mit Zwischenschritten und Erklärungen.