1. **Aufgabe 1: Erste Ableitung der Funktion bestimmen** Gegeben sind Funktionen mit Exponentialausdruck, wir verwenden die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen: Für $f(x) = e^{ax} + b$ mit $a \neq 0$ gilt: $$f'(x) = a \cdot e^{ax}$$ **a)** $f(x) = e^{3x} - 2$ 1. Ableitung: $$f'(x) = 3 \cdot e^{3x}$$ **b)** $g(x) = -e^{12x}$ 1. Ableitung: $$g'(x) = -12 \cdot e^{12x}$$ **c)** $h(x) = 2e^{-4x} + 5$ 1. Ableitung: $$h'(x) = 2 \cdot (-4) \cdot e^{-4x} = -8e^{-4x}$$ **d)** $s(t) = e^{\frac{1}{2}t} - \frac{7}{2} + 2$ 1. Ableitung: $$s'(t) = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}t}$$ 2. **Aufgabe 2: Ableitung mit der Produktregel** Die Produktregel lautet: $$\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$ Wir leiten jede Funktion Schritt für Schritt ab. **a)** $f(x) = (2x^3 + 5) \cdot x^2$ 1. Schritt: Ableitungen der Faktoren $$u = 2x^3 + 5, \quad u' = 6x^2$$ $$v = x^2, \quad v' = 2x$$ 2. Schritt: Produktregel anwenden $$f'(x) = u'v + uv' = 6x^2 \cdot x^2 + (2x^3 + 5) \cdot 2x$$ 3. Schritt: Ausmultiplizieren $$= 6x^4 + 4x^4 + 10x = 10x^4 + 10x$$ **b)** $f(x) = (x^2 - 5) \cdot (2x + 1)$ 1. Schritt: Ableitungen $$u = x^2 - 5, \quad u' = 2x$$ $$v = 2x + 1, \quad v' = 2$$ 2. Schritt: Produktregel $$f'(x) = 2x(2x + 1) + (x^2 - 5) \cdot 2$$ 3. Schritt: Ausmultiplizieren $$= 4x^2 + 2x + 2x^2 - 10 = 6x^2 + 2x - 10$$ **c)** $g(x) = (x^2 - 1) \cdot (x^2 + 1)$ 1. Schritt: Ableitungen $$u = x^2 - 1, \quad u' = 2x$$ $$v = x^2 + 1, \quad v' = 2x$$ 2. Schritt: Produktregel $$g'(x) = 2x(x^2 + 1) + (x^2 - 1)2x$$ 3. Schritt: Ausmultiplizieren $$= 2x^3 + 2x + 2x^3 - 2x = 4x^3$$ **d)** $b(x) = (2x^3 - 3x^2 + x) \cdot (3x + 5)$ 1. Schritt: Ableitungen $$u = 2x^3 - 3x^2 + x, \quad u' = 6x^2 - 6x + 1$$ $$v = 3x + 5, \quad v' = 3$$ 2. Schritt: Produktregel $$b'(x) = (6x^2 - 6x + 1)(3x + 5) + (2x^3 - 3x^2 + x)3$$ 3. Schritt: Ausmultiplizieren $$= (6x^2 - 6x + 1)(3x + 5) + 6x^3 - 9x^2 + 3x$$ 4. Schritt: Ausmultiplizieren des ersten Terms $$= 18x^3 + 30x^2 - 18x^2 - 30x + 3x + 5 + 6x^3 - 9x^2 + 3x$$ 5. Schritt: Zusammenfassen $$= (18x^3 + 6x^3) + (30x^2 - 18x^2 - 9x^2) + (-30x + 3x + 3x) + 5$$ $$= 24x^3 + 3x^2 - 24x + 5$$ **e)** $f(t) = (3t^3 + t^2) \cdot e^t$ 1. Schritt: Ableitungen $$u = 3t^3 + t^2, \quad u' = 9t^2 + 2t$$ $$v = e^t, \quad v' = e^t$$ 2. Schritt: Produktregel $$f'(t) = (9t^2 + 2t) e^t + (3t^3 + t^2) e^t$$ 3. Schritt: Zusammenfassen $$= e^t (9t^2 + 2t + 3t^3 + t^2) = e^t (3t^3 + 10t^2 + 2t)$$ **f)** $f(t) = e^t \cdot (2t + 1) + e^t$ 1. Schritt: Ableitungen $$u = e^t, \quad u' = e^t$$ $$v = 2t + 1, \quad v' = 2$$ 2. Schritt: Produktregel für $e^t (2t + 1)$ $$\frac{d}{dt}[e^t (2t + 1)] = e^t (2t + 1) + e^t \cdot 2 = e^t (2t + 1 + 2) = e^t (2t + 3)$$ 3. Schritt: Ableitung von $e^t$ ist $e^t$ 4. Schritt: Gesamtableitung $$f'(t) = e^t (2t + 3) + e^t = e^t (2t + 3 + 1) = e^t (2t + 4)$$