1. **Stating the problem:** Wir sollen die Ableitung der Funktion $f(x) = -2x^2$ bestimmen, indem wir den Differenzenquotienten $$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ für $h \to 0$ berechnen. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Ableitung $f'(x_0)$ ist definiert als $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ Wichtig ist, dass wir den Differenzenquotienten vereinfachen und dann den Grenzwert für $h \to 0$ bestimmen. 3. **Zwischenschritte:** Setze $f(x) = -2x^2$ ein: $$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{-2(x_0 + h)^2 - (-2x_0^2)}{h}$$ 4. **Ausmultiplizieren und vereinfachen:** $$= \frac{-2(x_0^2 + 2x_0h + h^2) + 2x_0^2}{h} = \frac{-2x_0^2 - 4x_0h - 2h^2 + 2x_0^2}{h}$$ 5. **Kürzen von Termen:** $$= \frac{\cancel{-2x_0^2} - 4x_0h - 2h^2 + \cancel{2x_0^2}}{h} = \frac{-4x_0h - 2h^2}{h}$$ 6. **Faktor $h$ kürzen:** $$= \frac{\cancel{h}(-4x_0 - 2h)}{\cancel{h}} = -4x_0 - 2h$$ 7. **Grenzwert für $h \to 0$ bestimmen:** $$\lim_{h \to 0} (-4x_0 - 2h) = -4x_0$$ 8. **Ableitungsfunktion:** Da $x_0$ beliebig ist, gilt für alle $x$: $$f'(x) = -4x$$ **Endergebnis:** $$\boxed{f'(x) = -4x}$$