1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ sowie zwei mögliche Stammfunktionen für die Funktion $f(x) = e^{5x}$. 2. **Formeln und Regeln:** - Ableitung der Exponentialfunktion $e^{u(x)}$ ist $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$. - Stammfunktion von $e^{ax}$ ist $\frac{1}{a} e^{ax} + C$ mit Konstante $C$. 3. **Ableitung berechnen:** - Gegeben: $f(x) = e^{5x}$ - Innere Funktion $u(x) = 5x$, also $u'(x) = 5$ - Ableitung: $$f'(x) = 5 e^{5x}$$ 4. **Stammfunktionen bestimmen:** - Erste Stammfunktion: $$F_1(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + C_1$$ - Zweite Stammfunktion: $$F_2(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + C_2$$ 5. **Erklärung:** - Die Ableitung einer Exponentialfunktion mit linearem Exponenten multipliziert mit der Ableitung des Exponenten. - Stammfunktionen sind unbestimmte Integrale, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden. **Endergebnis:** - Erste Ableitung: $$f'(x) = 5 e^{5x}$$ - Zwei mögliche Stammfunktionen: $$F(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + C$$ (mit beliebigen Konstanten $C$)