1. Problem statement: Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ sowie zwei mögliche Stammfunktionen für $f(x) = e^{5x}$. 2. Formel und Regeln: Die Ableitung der Exponentialfunktion $e^{kx}$ ist $f'(x) = k e^{kx}$. Die Stammfunktion von $e^{kx}$ ist $F(x) = \frac{1}{k} e^{kx} + C$, wobei $C$ eine Konstante ist. 3. Ableitung berechnen: $$f'(x) = 5 e^{5x}$$ 4. Zwei mögliche Stammfunktionen bestimmen: $$F_1(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + C_1$$ $$F_2(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + C_2$$ 5. Erklärung: Die Ableitung multipliziert die Funktion mit dem Faktor $5$ aus dem Exponenten. Die Stammfunktion teilt durch diesen Faktor und addiert eine Konstante, da die Ableitung einer Konstante null ist. Endergebnis: Ableitung: $f'(x) = 5 e^{5x}$ Stammfunktionen: $F(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + C$ mit beliebigen Konstanten $C$.