1. **Problemstellung:** Gegeben sind Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen $f$. Es soll beschrieben werden, wie sich das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'$ an diesen Extremstellen ändert. 2. **Wichtige Regel:** An einem Hochpunkt wechselt $f'$ von positiv zu negativ, da die Funktion dort von steigend zu fallend wechselt. 3. An einem Tiefpunkt wechselt $f'$ von negativ zu positiv, da die Funktion dort von fallend zu steigend wechselt. 4. **Beispiel a):** Hochpunkt bei $(1|2)$, Tiefpunkt bei $(-1|-2)$. - Am Hochpunkt: $f'$ geht von positiv über $0$ zu negativ. - Am Tiefpunkt: $f'$ geht von negativ über $0$ zu positiv. 5. **Beispiel b):** Hochpunkte bei $(-2|4)$ und $(2|4)$, Tiefpunkt bei $(0|0)$. - An beiden Hochpunkten: $f'$ geht von positiv über $0$ zu negativ. - Am Tiefpunkt: $f'$ geht von negativ über $0$ zu positiv. 6. **Beispiel c):** Hochpunkt bei $(0|4)$, Tiefpunkt bei $(2|0)$. - Am Hochpunkt: $f'$ geht von positiv über $0$ zu negativ. - Am Tiefpunkt: $f'$ geht von negativ über $0$ zu positiv. **Zusammenfassung:** Das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'$ ändert sich an Hochpunkten von positiv zu negativ und an Tiefpunkten von negativ zu positiv.