1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Funktionen $f(x) = \frac{2}{x}$, $g(x) = \frac{2}{x}$, $h(x) = \sqrt[3]{x}$ und $i(x) = 5 - 2\sqrt{x}$ für $x \in \mathbb{R}^0_+$. (a) Schätzen Sie die Steigung des Graphen an der Stelle $x_0 = 1$ anhand der Abbildung. (b) Berechnen Sie $f'(1)$, $g'(1)$, $h'(1)$ und $i'(1)$ und vergleichen Sie mit der Schätzung aus (a). --- 2. **Formeln und Regeln:** - Die Ableitung von $f(x) = \frac{a}{x}$ ist $f'(x) = -\frac{a}{x^2}$. - Die Ableitung von $h(x) = x^{1/3}$ ist $h'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. - Die Ableitung von $i(x) = 5 - 2x^{1/2}$ ist $i'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = -x^{-1/2}$. --- 3. **Schätzung der Steigung bei $x_0=1$ (Teil a):** - Für $f$ und $g$ sieht man an der Grafik, dass der Graph bei $x=1$ ungefähr die Steigung $-2$ hat (da $f(1)=2$ und der Graph fällt steil ab). - Für $h$ steigt der Graph bei $x=1$ ungefähr mit Steigung $\approx \frac{1}{3}$. - Für $i$ fällt der Graph bei $x=1$ mit einer Steigung nahe $-1$. --- 4. **Berechnung der Ableitungen an $x=1$ (Teil b):** - $f'(x) = -\frac{2}{x^2} \Rightarrow f'(1) = -\frac{2}{1^2} = -2$ - $g'(x) = -\frac{2}{x^2} \Rightarrow g'(1) = -2$ - $h'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} \Rightarrow h'(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^{-2/3} = \frac{1}{3}$ - $i'(x) = -x^{-1/2} \Rightarrow i'(1) = -1$ --- 5. **Vergleich mit Schätzung:** - Die berechneten Werte stimmen sehr gut mit der Schätzung aus der Grafik überein: - $f'(1) = -2$ passt zur geschätzten Steigung von $-2$. - $g'(1) = -2$ ebenfalls. - $h'(1) = \frac{1}{3}$ entspricht der sanften Steigung. - $i'(1) = -1$ entspricht der moderaten fallenden Steigung. **Endergebnis:** $$f'(1) = g'(1) = -2, \quad h'(1) = \frac{1}{3}, \quad i'(1) = -1$$ Diese Werte bestätigen die grafische Schätzung.