1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \operatorname{argth}(g(x))$ avec $g(x) = \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}}$. 2. **Tableau de variation de $g$ :** - Calcul de la dérivée de $g$ : $$g'(x) = \frac{\sqrt{3 + x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}}}{3 + x^2} = \frac{3}{(3 + x^2)^{3/2}} > 0$$ - $g'(x)$ est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Limites : $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}} = -1$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1$$ - Tableau de variation : | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $g(x)$ | $-1$ | croissante | $1$ | 3. **Domaine de définition de $f$ :** - $f(x) = \operatorname{argth}(g(x))$ est défini si et seulement si $|g(x)| < 1$. - Or, $g(x)$ est strictement croissante de $-1$ à $1$ mais n'atteint jamais $\pm 1$. - Donc $|g(x)| < 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Ainsi, le domaine de définition $D_f = \mathbb{R}$. 4. **Dérivabilité de $f$ et calcul de $f'(x)$ :** - Rappel : $\frac{d}{dx} \operatorname{argth}(u) = \frac{u'}{1 - u^2}$. - Calcul de $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{g'(x)}{1 - (g(x))^2}$$ - Or, $$1 - (g(x))^2 = 1 - \frac{x^2}{3 + x^2} = \frac{3 + x^2 - x^2}{3 + x^2} = \frac{3}{3 + x^2}$$ - Donc, $$f'(x) = \frac{\frac{3}{(3 + x^2)^{3/2}}}{\frac{3}{3 + x^2}} = \frac{3}{(3 + x^2)^{3/2}} \times \frac{3 + x^2}{3} = \frac{1}{\sqrt{3 + x^2}}$$ - $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3 + x^2}}$$ 5. **Tableau de variation de $f$ :** - $f'(x) > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Limites : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \operatorname{argth}(-1) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \operatorname{argth}(1) = +\infty$$ - Tableau de variation : | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $f(x)$ | $-\infty$ | croissante | $+\infty$ | 6. **Solution unique de $f(x) = 0$ :** - $f(x) = 0 \iff \operatorname{argth}(g(x)) = 0 \iff g(x) = 0$. - Résoudre $g(x) = 0$ : $$\frac{x}{\sqrt{3 + x^2}} = 0 \implies x = 0$$ - Donc, la solution unique est $\alpha = 0$. --- **Partie II : Étude de la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 1$ et $U_{n+1} = f(U_n)$** 1. **Définition de la suite :** - Comme $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, et $U_0 = 1 \in \mathbb{R}$, la suite est bien définie par récurrence. 2. **Monotonie de $(U_n)$ :** - Calcul de $U_1 = f(1) = \operatorname{argth}\left(\frac{1}{\sqrt{3 + 1}}\right) = \operatorname{argth}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.5493$. - $U_1 < U_0$ donc la suite décroît. - Montrons que $U_{n+1} < U_n$ pour tout $n$ par récurrence : - $f$ est strictement croissante et $f(x) < x$ pour $x > 0$ (car $f'(x) < 1$ et $f(0) = 0$). - Donc $(U_n)$ est strictement décroissante. 3. **(a) Majoration de $|f'(x)|$ :** - Pour tout $x$, $$|f'(x)| = \frac{1}{\sqrt{3 + x^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$ 3. **(b) $f$ est contractante :** - Comme $|f'(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$, $f$ est une contraction sur $\mathbb{R}$. 3. **(c) Convergence de $(U_n)$ :** - Par le théorème du point fixe pour les contractions, $(U_n)$ converge vers la unique solution $\ell$ de $\ell = f(\ell)$. - Or, $f(x) = x$ a pour unique solution $x=0$ (car $f$ est strictement croissante et $f(0)=0$). - Donc, $$\lim_{n \to \infty} U_n = 0$$