1. **Problemstellung:** Gegeben ist ein Bogen mit einer Höhe von 50 Metern und einer Breite von 50 Metern am Erdboden. Der linke Fußpunkt liegt bei $x=0$, der rechte Fußpunkt bei $x=50$. Gesucht ist eine quadratische Funktion $f(x)$, die den Verlauf des Bogens beschreibt. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Eine quadratische Funktion hat die Form $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Da der Bogen am Erdboden beginnt und endet, gilt $$f(0) = 0$$ und $$f(50) = 0$$. Die maximale Höhe von 50 Metern liegt in der Mitte bei $$x=25$$, also $$f(25) = 50$$. 3. **Aufstellen der Gleichungen:** Aus $$f(0) = 0$$ folgt $$c = 0$$. Aus $$f(50) = 0$$ folgt $$a \cdot 50^2 + b \cdot 50 + c = 0$$, also $$2500a + 50b = 0$$. Aus $$f(25) = 50$$ folgt $$a \cdot 25^2 + b \cdot 25 + c = 50$$, also $$625a + 25b = 50$$. 4. **Lösen des Gleichungssystems:** Aus der zweiten Gleichung: $$2500a + 50b = 0 \Rightarrow 50b = -2500a \Rightarrow b = -50a$$ Einsetzen in die dritte Gleichung: $$625a + 25(-50a) = 50$$ $$625a - 1250a = 50$$ $$-625a = 50$$ $$a = -\frac{50}{625} = -\frac{2}{25} = -0{,}08$$ 5. **Berechnung von $b$:** $$b = -50a = -50 \times (-0{,}08) = 4$$ 6. **Endgültige Funktionsgleichung:** $$f(x) = -0{,}08x^2 + 4x$$ Diese Funktion beschreibt den Bogen mit der gewünschten Höhe und Breite.