1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$f$$ معرفة على $$]0,+\infty[$$ كما يلي: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x - \ln x} & x > 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$ نريد: - إثبات استمرارية $$f$$ عند $$0$$. - دراسة قابلية الاشتقاق عند $$0$$ وتفسير النتيجة هندسياً. - إيجاد المقاربة الأفقية عند $$+\infty$$. - كتابة معادلة المماس عند النقطة التي إحداثيها $$1$$ واستخدام التقريب التآلفي لحساب $$f(1.1)$$. 2. **إثبات استمرارية $$f$$ عند $$0$$:** - يجب أن نثبت أن $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$$. - نحسب النهاية: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x - \ln x}$$ - نعلم أن $$\ln x \to -\infty$$ عندما $$x \to 0^+$$، إذن: $$x - \ln x \to +\infty$$ - بالتالي: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x - \ln x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{+\infty} = 0$$ - إذن: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)$$ - بالتالي $$f$$ مستمرة عند $$0$$. 3. **دراسة قابلية الاشتقاق عند $$0$$:** - نستخدم تعريف المشتقة عند $$0$$: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{h - \ln h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h(h - \ln h)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h - \ln h}$$ - نعلم أن $$\ln h \to -\infty$$ و $$h \to 0$$، إذن: $$h - \ln h \to +\infty$$ - إذن: $$f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h - \ln h} = 0$$ - النتيجة: المشتقة عند $$0$$ موجودة وتساوي $$0$$. - هندسياً، هذا يعني أن المماس عند $$x=0$$ هو خط أفقي. 4. **إيجاد المقاربة الأفقية عند $$+\infty$$:** - نحسب: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x - \ln x}$$ - نقسم البسط والمقام على $$x$$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x} - \frac{\ln x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 - \frac{\ln x}{x}}$$ - نعلم أن $$\frac{\ln x}{x} \to 0$$ عند $$x \to +\infty$$، إذن: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{1 - 0} = 1$$ - إذن، المقاربة الأفقية هي: $$y = 1$$ 5. **معادلة المماس عند النقطة $$x=1$$:** - نحسب $$f(1)$$: $$f(1) = \frac{1}{1 - \ln 1} = \frac{1}{1 - 0} = 1$$ - نحسب $$f'(x)$$ عامة: $$f(x) = \frac{x}{x - \ln x}$$ - نستخدم قاعدة القسمة: $$f'(x) = \frac{(1)(x - \ln x) - x(1 - \frac{1}{x})}{(x - \ln x)^2} = \frac{x - \ln x - x + 1}{(x - \ln x)^2} = \frac{1 - \ln x}{(x - \ln x)^2}$$ - نحسب $$f'(1)$$: $$f'(1) = \frac{1 - \ln 1}{(1 - \ln 1)^2} = \frac{1 - 0}{1^2} = 1$$ - معادلة المماس عند $$x=1$$: $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + 1(x - 1) = x$$ 6. **التقريب التآلفي المحلي لحساب $$f(1.1)$$:** - نستخدم التقريب الخطي: $$f(1.1) \approx f(1) + f'(1)(1.1 - 1) = 1 + 1 \times 0.1 = 1.1$$ **النتائج النهائية:** - $$f$$ مستمرة عند $$0$$. - $$f$$ قابلة للاشتقاق عند $$0$$ و $$f'(0) = 0$$. - المقاربة الأفقية عند $$+\infty$$ هي $$y=1$$. - معادلة المماس عند $$x=1$$ هي $$y=x$$. - التقريب التآلفي $$f(1.1) \approx 1.1$$.