1. **הבעיה:** נתונה סדרה $a_n \geq 0$ והסדרה $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנסת. יש לבדוק האם הסדרה $\sum_{n=1}^\infty \sqrt[3]{a_n}$ מתכנסת. 2. **נוסחאות וכללים חשובים:** - אם $\sum a_n$ מתכנסת עם $a_n \geq 0$, אז $a_n \to 0$. - מבחן השורש או מבחן היחס יכולים לעזור לבדוק התכנסות של סדרות. - עבור $0 \leq a_n \leq 1$, מתקיים $\sqrt[3]{a_n} \geq a_n$ או להפך תלוי בערכים. 3. **בדיקה:** - נניח $a_n = \frac{1}{n^2}$, סדרה מתכנסת. - אז $\sqrt[3]{a_n} = \sqrt[3]{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n^{2/3}}$. - הסדרה $\sum \frac{1}{n^{2/3}}$ מתבדרת כי $2/3 < 1$. 4. **מסקנה:** - אף על פי ש-$\sum a_n$ מתכנסת, לא בהכרח ש-$\sum \sqrt[3]{a_n}$ מתכנסת. - לכן, התשובה היא: לא ניתן לקבוע שהתכנסות $\sum a_n$ מבטיחה התכנסות $\sum \sqrt[3]{a_n}$. 5. **סיכום:** - $a_n$ תלויה בסדרה המקורית. - $\sum a_n$ מתכנסת. - $\sum \sqrt[3]{a_n}$ לא בהכרח מתכנסת.