1. **Problemstellung:** Wir wollen verstehen, was Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet und warum die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ an der Stelle $x_0 = 0$ nicht differenzierbar ist. 2. **Definition Differenzierbarkeit:** Eine Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ Dieser Grenzwert ist die Ableitung $f'(x_0)$. 3. **Wichtige Regel:** Für die Differenzierbarkeit muss der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten gleich sein. 4. **Beispiel Betragsfunktion:** $$f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{für } x \geq 0 \\ -x & \text{für } x < 0 \end{cases}$$ Wir untersuchen die Differenzierbarkeit an $x_0 = 0$. 5. **Linksseitiger Grenzwert ($h \to 0^-$):** $$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -1 = -1$$ 6. **Rechtsseitiger Grenzwert ($h \to 0^+$):** $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$$ 7. **Ergebnis:** Da $-1 \neq 1$, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht an $x_0=0$. 8. **Schlussfolgerung:** Die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ ist an der Stelle $x_0=0$ nicht differenzierbar. 9. **Zusammenhang Stetigkeit und Differenzierbarkeit:** - Wenn $f$ differenzierbar an $x_0$ ist, dann ist $f$ auch stetig an $x_0$. - Wenn $f$ nicht stetig an $x_0$ ist, dann ist $f$ nicht differenzierbar an $x_0$. - Stetigkeit allein garantiert keine Differenzierbarkeit (wie bei der Betragsfunktion). **Endergebnis:** Die Betragsfunktion ist an $x_0=0$ stetig, aber nicht differenzierbar, weil die links- und rechtsseitigen Ableitungen unterschiedlich sind.