1. Énoncé: On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x(\sqrt{x}-2)^2$. On demande de déterminer l'ensemble de définition $D_f$, de calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ et d'interpréter graphiquement ces résultats. 2. Règles et domaine: La présence de $\sqrt{x}$ impose $x\ge 0$, donc $D_f=[0,+\infty[$. 3. Simplification et travail intermédiaire: On développe $f$ pour étudier les limites. $$f(x)=x(\sqrt{x}-2)^2 = x\bigl(x -4\sqrt{x}+4\bigr)=x^2 -4x^{3/2}+4x.$$ 4. Calcul de $\lim_{x\to+\infty} f(x)$: Le terme dominant est $x^2$ qui tend vers $+\infty$, donc $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.$$ 5. Calcul de $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$: On simplifie $$\frac{f(x)}{x}=(\sqrt{x}-2)^2 = x -4\sqrt{x}+4$$ et ainsi $$\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty.$$ 6. Interprétation graphique: Comme $f(x)\to+\infty$ et $\frac{f(x)}{x}\to+\infty$, la courbe $(C_f)$ monte indéfiniment et, pour $x$ suffisamment grand, on a $f(x)>x$, donc $(C_f)$ est au-dessus de la droite $y=x$ pour les grandes valeurs de $x$. 7. Résumé: $D_f=[0,+\infty[$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty$.