1. **Problem statement:** Gegeben ist die Funktion $$h(t) = 3{,}5 \cdot e^{-0{,}2t} \cdot \sin(5t)$$, die die Höhe einer Eisenkugel beschreibt, die an einer Schraubenfeder pendelt. Gesucht sind: a) Die Höhe und die Geschwindigkeit der Kugel nach 4 Sekunden. b) Der Zeitpunkt, wann die Kugel letztmalig die Geschwindigkeit $$v(t) = 3$$ cm/s besitzt. 2. **Formeln und Regeln:** - Die Höhe ist gegeben durch $$h(t)$$. - Die Geschwindigkeit $$v(t)$$ ist die erste Ableitung von $$h(t)$$ nach $$t$$: $$v(t) = h'(t)$$ - Für das Produkt zweier Funktionen gilt die Produktregel: $$\frac{d}{dt}[f(t)g(t)] = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)$$ - Die Ableitung von $$e^{kt}$$ ist $$ke^{kt}$$. - Die Ableitung von $$\sin(kt)$$ ist $$k\cos(kt)$$. 3. **Berechnung der Geschwindigkeit $$v(t)$$:** Setze $$f(t) = 3{,}5 e^{-0{,}2t}$$ und $$g(t) = \sin(5t)$$. Dann ist: $$f'(t) = 3{,}5 \cdot (-0{,}2) e^{-0{,}2t} = -0{,}7 e^{-0{,}2t}$$ $$g'(t) = 5 \cos(5t)$$ Anwendung der Produktregel: $$v(t) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t) = -0{,}7 e^{-0{,}2t} \sin(5t) + 3{,}5 e^{-0{,}2t} \cdot 5 \cos(5t)$$ $$= e^{-0{,}2t} (-0{,}7 \sin(5t) + 17{,}5 \cos(5t))$$ 4. **a) Höhe und Geschwindigkeit nach 4 Sekunden:** Berechne $$h(4)$$: $$h(4) = 3{,}5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 4} \cdot \sin(5 \cdot 4) = 3{,}5 \cdot e^{-0{,}8} \cdot \sin(20)$$ Berechne $$v(4)$$: $$v(4) = e^{-0{,}2 \cdot 4} (-0{,}7 \sin(20) + 17{,}5 \cos(20)) = e^{-0{,}8} (-0{,}7 \sin(20) + 17{,}5 \cos(20))$$ 5. **b) Zeitpunkt, wann $$v(t) = 3$$ cm/s:** Gesucht ist $$t$$ mit: $$v(t) = e^{-0{,}2t} (-0{,}7 \sin(5t) + 17{,}5 \cos(5t)) = 3$$ Diese Gleichung ist transzendent und wird mit einem GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) numerisch gelöst. **Zusammenfassung:** $$h(4) = 3{,}5 e^{-0{,}8} \sin(20)$$ $$v(4) = e^{-0{,}8} (-0{,}7 \sin(20) + 17{,}5 \cos(20))$$ $$v(t) = 3 \Rightarrow e^{-0{,}2t} (-0{,}7 \sin(5t) + 17{,}5 \cos(5t)) = 3$$ wird mit GTR gelöst.