1. Énoncé du problème : Trouver une équivalence simple de la fonction $f(x) = x + 1 + \ln x$ en $0$. 2. Formule et règles importantes : Pour étudier le comportement d'une fonction en un point, on utilise souvent les développements limités ou équivalences asymptotiques. Ici, on cherche une équivalence simple de $f(x)$ quand $x \to 0^+$. 3. Analyse de $f(x)$ en $0^+$ : - Le terme $x$ tend vers $0$. - Le terme $1$ est constant. - Le terme $\ln x$ tend vers $-\infty$ quand $x \to 0^+$. 4. Conclusion : Le terme dominant est $\ln x$ qui diverge vers $-\infty$. Ainsi, l'équivalence simple de $f(x)$ en $0^+$ est $$f(x) \sim \ln x$$ car $x + 1$ est négligeable devant $\ln x$ qui tend vers $-\infty$. --- 1. Énoncé du problème : Trouver une équivalence simple de la fonction $g(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ en $+\infty$. 2. Formule et règles importantes : Pour $x \to +\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$, donc on peut utiliser le développement limité de $\ln(1 + u)$ en $u=0$ : $$\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$$ 3. Application : Posons $u = \frac{1}{x}$, alors $$g(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ 4. Conclusion : L'équivalence simple de $g(x)$ en $+\infty$ est $$g(x) \sim \frac{1}{x}$$ car les termes suivants sont négligeables devant $\frac{1}{x}$. --- Réponse finale : 1. $x + 1 + \ln x \sim \ln x$ quand $x \to 0^+$. 2. $\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x}$ quand $x \to +\infty$.