1. **Problem statement:** Berechne die Extrem-, Sattel- und Wendepunkte der Funktion $$f(x) = -x^4 + 3x^2$$. 2. **Formeln und Regeln:** - Extrempunkte findet man, wenn die erste Ableitung $$f'(x)$$ gleich Null ist und die zweite Ableitung $$f''(x)$$ ungleich Null. - Sattelpunkte sind Stellen, an denen $$f'(x) = 0$$ und $$f''(x) = 0$$, aber die dritte Ableitung $$f'''(x) \neq 0$$. - Wendepunkte sind Stellen, an denen $$f''(x) = 0$$ und die dritte Ableitung $$f'''(x) \neq 0$$. 3. **Ableitungen berechnen:** $$f(x) = -x^4 + 3x^2$$ $$f'(x) = -4x^3 + 6x$$ $$f''(x) = -12x^2 + 6$$ $$f'''(x) = -24x$$ 4. **Extrempunkte bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$-4x^3 + 6x = 0$$ $$2x(-2x^2 + 3) = 0$$ Lösungen: $$x = 0$$ oder $$-2x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$ 5. **Art der Extrempunkte prüfen mit $$f''(x)$$:** - Für $$x=0$$: $$f''(0) = -12 \cdot 0^2 + 6 = 6 > 0$$, also Minimum. - Für $$x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$: $$f''\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = -12 \cdot \frac{3}{2} + 6 = -18 + 6 = -12 < 0$$, also Maxima. 6. **Sattelpunkte bestimmen:** Sattelpunkte haben $$f'(x) = 0$$ und $$f''(x) = 0$$. Setze $$f''(x) = 0$$: $$-12x^2 + 6 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Prüfe $$f'(x)$$ an diesen Stellen: $$f'\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -4 \left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 + 6 \left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ Da $$f'(x) \neq 0$$ an diesen Stellen, gibt es keine Sattelpunkte. 7. **Wendepunkte bestimmen:** Wendepunkte sind die Stellen, an denen $$f''(x) = 0$$ und $$f'''(x) \neq 0$$. Wir haben bereits $$f''(x) = 0$$ bei $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$. Prüfe $$f'''(x)$$: $$f'''\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -24 \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$$ Also sind die Wendepunkte bei $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$. 8. **Funktionswerte an den Punkten:** - Extrempunkte: $$f(0) = 0$$ $$f\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = -\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^4 + 3 \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4}$$ - Wendepunkte: $$f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 + 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$$ **Antwort:** - Extrempunkte: - Minimum bei $$(0,0)$$ - Maxima bei $$\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{9}{4}\right)$$ - Keine Sattelpunkte - Wendepunkte bei $$\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{5}{4}\right)$$