1. **Problemstellung:** Wir sollen die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $$f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{0.5x}$$ bestimmen. 2. **Formeln und Regeln:** - Extrempunkte findet man, indem man die erste Ableitung $$f'(x)$$ berechnet und die Gleichung $$f'(x) = 0$$ löst. - Wendepunkte findet man, indem man die zweite Ableitung $$f''(x)$$ berechnet und die Gleichung $$f''(x) = 0$$ löst. - Wichtig: Bei der Produktregel gilt $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$. 3. **Erste Ableitung berechnen:** Setze $$u = x^2 - x$$ und $$v = e^{0.5x}$$. $$u' = 2x - 1$$ $$v' = 0.5 e^{0.5x}$$ Dann: $$f'(x) = u'v + uv' = (2x - 1)e^{0.5x} + (x^2 - x)0.5 e^{0.5x}$$ Faktorisiere $$e^{0.5x}$$ aus: $$f'(x) = e^{0.5x} \left(2x - 1 + 0.5x^2 - 0.5x\right) = e^{0.5x} \left(0.5x^2 + 1.5x - 1\right)$$ 4. **Extrempunkte bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$e^{0.5x} \left(0.5x^2 + 1.5x - 1\right) = 0$$ Da $$e^{0.5x} \neq 0$$ für alle $$x$$, gilt: $$0.5x^2 + 1.5x - 1 = 0$$ Multipliziere mit 2 zur Vereinfachung: $$x^2 + 3x - 2 = 0$$ Löse mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$$ 5. **Zweite Ableitung berechnen:** Berechne $$f''(x)$$ mit Produktregel auf $$f'(x) = e^{0.5x} (0.5x^2 + 1.5x - 1)$$: Setze $$g = e^{0.5x}$$ und $$h = 0.5x^2 + 1.5x - 1$$. $$g' = 0.5 e^{0.5x}$$ $$h' = x + 1.5$$ Dann: $$f''(x) = g'h + gh' = 0.5 e^{0.5x} (0.5x^2 + 1.5x - 1) + e^{0.5x} (x + 1.5)$$ Faktorisiere $$e^{0.5x}$$ aus: $$f''(x) = e^{0.5x} \left(0.5 (0.5x^2 + 1.5x - 1) + x + 1.5\right)$$ Berechne den Klammerinhalt: $$0.5 \cdot 0.5x^2 = 0.25x^2$$ $$0.5 \cdot 1.5x = 0.75x$$ $$0.5 \cdot (-1) = -0.5$$ Summe: $$0.25x^2 + 0.75x - 0.5 + x + 1.5 = 0.25x^2 + 1.75x + 1$$ Also: $$f''(x) = e^{0.5x} (0.25x^2 + 1.75x + 1)$$ 6. **Wendepunkte bestimmen:** Setze $$f''(x) = 0$$: $$e^{0.5x} (0.25x^2 + 1.75x + 1) = 0$$ Da $$e^{0.5x} \neq 0$$, gilt: $$0.25x^2 + 1.75x + 1 = 0$$ Multipliziere mit 4: $$x^2 + 7x + 4 = 0$$ Löse mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2}$$ 7. **Endergebnis:** - Extrempunkte bei $$x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$$ und $$x = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$$ - Wendepunkte bei $$x = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2}$$ und $$x = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2}$$