1. **Problemstellung:** Wir sollen die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $$f(x) = (x^2 + x) \cdot e^{0{,}5x}$$ bestimmen. 2. **Formeln und Regeln:** - Extrempunkte findet man, indem man die erste Ableitung $$f'(x)$$ berechnet und die Gleichung $$f'(x) = 0$$ löst. - Wendepunkte findet man, indem man die zweite Ableitung $$f''(x)$$ berechnet und die Gleichung $$f''(x) = 0$$ löst. - Wichtig: Bei der Produktregel gilt $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$. 3. **Erste Ableitung berechnen:** Setze $$u = x^2 + x$$ und $$v = e^{0{,}5x}$$. $$u' = 2x + 1$$ $$v' = 0{,}5 e^{0{,}5x}$$ Dann: $$f'(x) = u'v + uv' = (2x + 1)e^{0{,}5x} + (x^2 + x)0{,}5 e^{0{,}5x}$$ Faktorisiere $$e^{0{,}5x}$$ aus: $$f'(x) = e^{0{,}5x} \left(2x + 1 + 0{,}5x^2 + 0{,}5x\right) = e^{0{,}5x} \left(0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1\right)$$ 4. **Extremstellen bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$e^{0{,}5x} \left(0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1\right) = 0$$ Da $$e^{0{,}5x} > 0$$ für alle $$x$$, gilt: $$0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1 = 0$$ Multipliziere mit 2 zur Vereinfachung: $$x^2 + 5x + 2 = 0$$ Löse mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$$ 5. **Zweite Ableitung berechnen:** $$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} \left(e^{0{,}5x} \left(0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1\right)\right)$$ Setze $$u = e^{0{,}5x}$$ und $$w = 0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1$$. $$u' = 0{,}5 e^{0{,}5x}$$ $$w' = x + 2{,}5$$ Dann: $$f''(x) = u'w + uw' = 0{,}5 e^{0{,}5x} \left(0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1\right) + e^{0{,}5x} (x + 2{,}5)$$ Faktorisiere $$e^{0{,}5x}$$ aus: $$f''(x) = e^{0{,}5x} \left(0{,}5 \left(0{,}5x^2 + 2{,}5x + 1\right) + x + 2{,}5\right)$$ Multipliziere aus: $$0{,}5 \cdot 0{,}5x^2 = 0{,}25x^2$$ $$0{,}5 \cdot 2{,}5x = 1{,}25x$$ $$0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5$$ Also: $$f''(x) = e^{0{,}5x} \left(0{,}25x^2 + 1{,}25x + 0{,}5 + x + 2{,}5\right) = e^{0{,}5x} \left(0{,}25x^2 + 2{,}25x + 3\right)$$ 6. **Wendestellen bestimmen:** Setze $$f''(x) = 0$$: $$e^{0{,}5x} \left(0{,}25x^2 + 2{,}25x + 3\right) = 0$$ Da $$e^{0{,}5x} > 0$$, gilt: $$0{,}25x^2 + 2{,}25x + 3 = 0$$ Multipliziere mit 4: $$x^2 + 9x + 12 = 0$$ Löse mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{2}$$ **Endergebnis:** - Extrempunkte bei $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$$ - Wendepunkte bei $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{2}$$