1. **Problem statement:** Bestimme zu der Funktion $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$$ die Koordinaten und Art der Extrema sowie die Monotonie-Intervalle. 2. **Formulas and rules:** - Extrema finden wir, indem wir die erste Ableitung $$f'(x)$$ bestimmen und die Gleichung $$f'(x) = 0$$ lösen. - Die Art der Extrema (Hochpunkt oder Tiefpunkt) bestimmen wir mit der zweiten Ableitung $$f''(x)$$: - Wenn $$f''(x) > 0$$ an der Stelle, ist es ein Tiefpunkt. - Wenn $$f''(x) < 0$$ an der Stelle, ist es ein Hochpunkt. - Monotonie-Intervalle bestimmen wir durch das Vorzeichen von $$f'(x)$$: - $$f'(x) > 0$$ bedeutet steigende Funktion. - $$f'(x) < 0$$ bedeutet fallende Funktion. 3. **Berechnung der ersten Ableitung:** $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$$ $$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x = -x^2 + 2x$$ 4. **Extremstellen bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$-x^2 + 2x = 0$$ $$\Rightarrow x(-x + 2) = 0$$ $$\Rightarrow x = 0 \text{ oder } x = 2$$ 5. **Zweite Ableitung:** $$f''(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x) = -2x + 2$$ 6. **Art der Extrema:** - Für $$x=0$$: $$f''(0) = -2 \cdot 0 + 2 = 2 > 0$$, also Tiefpunkt. - Für $$x=2$$: $$f''(2) = -2 \cdot 2 + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$$, also Hochpunkt. 7. **Koordinaten der Extrema:** - $$f(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 0 = 0$$ - $$f(2) = -\frac{1}{3} \cdot 8 + 4 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$ 8. **Monotonie-Intervalle:** - $$f'(x) = -x^2 + 2x = x(2 - x)$$ - Für $$x < 0$$: $$f'(x) = x(2-x) < 0$$ (da $$x<0$$ und $$2-x>0$$, Produkt negativ), also fallend. - Für $$0 < x < 2$$: $$f'(x) > 0$$, also steigend. - Für $$x > 2$$: $$f'(x) = x(2-x) < 0$$, also fallend. **Final answer:** - Tiefpunkt bei $$(0,0)$$ - Hochpunkt bei $$(2, \frac{4}{3})$$ - Monotonie: fallend auf $$(-\infty, 0)$$, steigend auf $$(0, 2)$$, fallend auf $$(2, \infty)$$