1. Das Problem lautet: Wir haben eine Giebelwand, die aus einem Rechteck mit Breite 10 m und Höhe 2 m besteht, darüber ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis 10 m und Gesamthöhe 6 m (also Dreieckshöhe 4 m). 2. Gesucht ist die maximale Fläche eines rechteckigen Panoramafensters, das auf der 10 m breiten Basis sitzt und sich innerhalb der Giebelwand befindet. 3. Wir definieren die Breite des Fensters als $x$ (mit $0 \leq x \leq 10$) und die Höhe als $h$. Die Höhe $h$ ist durch die Wandbegrenzung oben durch das Dreieck begrenzt. 4. Die Höhe des Dreiecks über dem Rechteck ist 4 m, und die Dreieckshöhe nimmt linear von der Mitte (5 m) zur Seite (0 oder 10 m) ab. 5. Die Höhe des Dreiecks an der Stelle $x$ ist $$h_{Dreieck}(x) = 4 - \frac{4}{5} |x - 5|$$ 6. Die maximale Fensterhöhe ist also $$h = 2 + h_{Dreieck}(x) = 2 + 4 - \frac{4}{5} |x - 5| = 6 - \frac{4}{5} |x - 5|$$ 7. Die Fläche des Fensters ist $$A(x) = x \cdot h = x \left(6 - \frac{4}{5} |x - 5|\right)$$ 8. Für $x \leq 5$ gilt $|x-5| = 5 - x$, also $$A(x) = x \left(6 - \frac{4}{5} (5 - x)\right) = x \left(6 - 4 + \frac{4}{5} x\right) = x \left(2 + \frac{4}{5} x\right) = 2x + \frac{4}{5} x^2$$ 9. Für $x \geq 5$ gilt $|x-5| = x - 5$, also $$A(x) = x \left(6 - \frac{4}{5} (x - 5)\right) = x \left(6 - \frac{4}{5} x + 4\right) = x \left(10 - \frac{4}{5} x\right) = 10x - \frac{4}{5} x^2$$ 10. Wir bestimmen die Ableitungen und finden die Maxima: - Für $x \leq 5$: $$A'(x) = 2 + \frac{8}{5} x$$, da $A'(x) > 0$ für alle $x \geq 0$, ist hier kein Maximum im Intervall. - Für $x \geq 5$: $$A'(x) = 10 - \frac{8}{5} x$$, Nullstelle bei $$10 - \frac{8}{5} x = 0 \Rightarrow x = \frac{50}{8} = 6.25$$ 11. Da $6.25$ im Bereich $[5,10]$ liegt, prüfen wir $A(6.25)$: $$A(6.25) = 10 \cdot 6.25 - \frac{4}{5} (6.25)^2 = 62.5 - \frac{4}{5} \cdot 39.0625 = 62.5 - 31.25 = 31.25$$ 12. Die maximale Fläche des Fensters beträgt also $31.25$ Quadratmeter bei einer Breite von $6.25$ m. Antwort: Das Fenster hat die Breite $6.25$ m und die Höhe $$h = 6 - \frac{4}{5} |6.25 - 5| = 6 - \frac{4}{5} \cdot 1.25 = 6 - 1 = 5$$ m, also Maße $6.25$ m x $5$ m mit maximaler Fläche $31.25$ m².