1. **Problem statement:** Berechnen Sie den Inhalt der grau unterlegten Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x) = e^{-0,5x}$, der Tangente im Punkt $S(0|1)$ und der Geraden $x=3$. 2. **Formeln und Regeln:** Die Fläche zwischen zwei Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ auf dem Intervall $[a,b]$ berechnet sich durch $$\text{Fläche} = \int_a^b |g(x) - h(x)| \, dx$$ 3. **Tangente an $S(0|1)$ bestimmen:** Die Funktion ist $f(x) = e^{-0,5x}$. Die Ableitung ist $$f'(x) = -0,5 e^{-0,5x}$$ Am Punkt $x=0$ gilt $$f'(0) = -0,5 e^0 = -0,5$$ Die Tangentengleichung in Punktform: $$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = -0,5x + 1$$ 4. **Schnittpunkt der Tangente mit $x$-Achse:** Setze $y=0$: $$0 = -0,5x + 1 \Rightarrow 0,5x = 1 \Rightarrow x = 2$$ 5. **Flächeninhalt berechnen:** Die Fläche liegt zwischen $x=0$ und $x=3$. Zwischen $x=0$ und $x=2$ ist die Tangente oberhalb der Funktion, zwischen $x=2$ und $x=3$ ist die Funktion oberhalb der Tangente. Berechne die Fläche als Summe zweier Integrale: $$A = \int_0^2 \bigl((-0,5x + 1) - e^{-0,5x}\bigr) dx + \int_2^3 \bigl(e^{-0,5x} - (-0,5x + 1)\bigr) dx$$ 6. **Integral 1:** $$\int_0^2 (-0,5x + 1) dx = \left[-0,25x^2 + x\right]_0^2 = (-0,25 \cdot 4 + 2) - 0 = (-1 + 2) = 1$$ $$\int_0^2 e^{-0,5x} dx = \left[-2 e^{-0,5x}\right]_0^2 = (-2 e^{-1}) - (-2) = 2 - 2 e^{-1}$$ Integral 1 ergibt: $$1 - (2 - 2 e^{-1}) = 1 - 2 + 2 e^{-1} = -1 + 2 e^{-1}$$ 7. **Integral 2:** $$\int_2^3 e^{-0,5x} dx = \left[-2 e^{-0,5x}\right]_2^3 = (-2 e^{-1,5}) - (-2 e^{-1}) = 2 e^{-1} - 2 e^{-1,5}$$ $$\int_2^3 (-0,5x + 1) dx = \left[-0,25x^2 + x\right]_2^3 = (-0,25 \cdot 9 + 3) - (-0,25 \cdot 4 + 2) = (-2,25 + 3) - (-1 + 2) = 0,75 - 1 = -0,25$$ Integral 2 ergibt: $$(2 e^{-1} - 2 e^{-1,5}) - (-0,25) = 2 e^{-1} - 2 e^{-1,5} + 0,25$$ 8. **Gesamtfläche:** $$A = (-1 + 2 e^{-1}) + (2 e^{-1} - 2 e^{-1,5} + 0,25) = (-1 + 0,25) + 2 e^{-1} + 2 e^{-1} - 2 e^{-1,5} = -0,75 + 4 e^{-1} - 2 e^{-1,5}$$ 9. **Numerische Approximation:** $$e^{-1} \approx 0,3679, \quad e^{-1,5} \approx 0,2231$$ $$A \approx -0,75 + 4 \cdot 0,3679 - 2 \cdot 0,2231 = -0,75 + 1,4716 - 0,4462 = 0,2754$$ --- **Zusatz: Aufgabe 6 wird nicht gelöst, da nur die erste Aufgabe bearbeitet wird gemäß GUEST RULE.**