1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von den Graphen der Funktionen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = x + 3$ sowie den Geraden $x = -1$ und $x = 1$ begrenzt wird. 2. **Formel:** Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ im Intervall $[a,b]$ wird berechnet durch $$\text{Fläche} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$ Da wir wissen, welche Funktion oben liegt, können wir das Betragszeichen weglassen und schreiben: $$\text{Fläche} = \int_a^b (\text{obere Funktion} - \text{untere Funktion}) \, dx$$ 3. **Bestimmung der oberen und unteren Funktion im Intervall $[-1,1]$:** Für $x = 0$ gilt: $f(0) = 0^2 + 4 = 4$ $g(0) = 0 + 3 = 3$ Also ist $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ im Intervall $[-1,1]$. 4. **Aufstellen des Integrals:** $$\text{Fläche} = \int_{-1}^1 (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 + 4 - (x + 3)) \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 - x + 1) \, dx$$ 5. **Integral berechnen:** $$\int (x^2 - x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$$ 6. **Auswertung des bestimmten Integrals:** $$\int_{-1}^1 (x^2 - x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^1$$ Berechnung bei $x=1$: $$\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1$$ Berechnung bei $x=-1$: $$\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} + (-1) = \frac{-1}{3} - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1$$ 7. **Differenz berechnen:** $$\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1$$ Kürzen von $-\frac{1}{2}$ und $+\frac{1}{2}$: $$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3}$$ 8. **Endergebnis:** Die Fläche beträgt $$\boxed{\frac{8}{3}}$$ SVG-Diagramm zeigt die Funktionen $f(x) = x^2 + 4$ (Parabel) und $g(x) = x + 3$ (Gerade) im Intervall $[-1,1]$ mit den Begrenzungen an den Linien $x=-1$ und $x=1$.