1. **Problemstellung:** Berechne den Flächeninhalt, der von den Graphen der Funktionen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = x + 3$ sowie den Geraden $x = -1$ und $x = 1$ begrenzt wird. 2. **Formel:** Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ im Intervall $[a,b]$ wird berechnet mit: $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$ Da wir wissen, welche Funktion oben liegt, können wir das Betragszeichen weglassen und schreiben: $$A = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx$$ 3. **Bestimmung der Funktionen:** $f(x) = x^2 + 4$ $g(x) = x + 3$ 4. **Intervall:** $a = -1$, $b = 1$ 5. **Bestimmen, welche Funktion oben liegt:** Berechne $f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - (x + 3) = x^2 - x + 1$ Für $x$ im Intervall $[-1,1]$ ist $x^2 - x + 1$ immer positiv (da $x^2$ positiv und $-x + 1$ nicht negativ genug ist), also liegt $f(x)$ über $g(x)$. 6. **Integral aufstellen:** $$A = \int_{-1}^1 (x^2 - x + 1) \, dx$$ 7. **Integral berechnen:** $$\int (x^2 - x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$$ 8. **Grenzwerte einsetzen:** $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^1 = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right)$$ $$= \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1 \right)$$ 9. **Vereinfachen:** $$= \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1$$ $$= \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1$$ $$= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1$$ $$= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) + \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) + (1 + 1) = \frac{2}{3} + 0 + 2 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$$ 10. **Endergebnis:** Der Flächeninhalt beträgt $$\boxed{\frac{8}{3}}$$ **Erklärung:** - Wir haben zuerst die Funktionen und das Intervall bestimmt. - Dann haben wir die Differenz der Funktionen gebildet, um zu sehen, welche Funktion oben liegt. - Danach haben wir das Integral der Differenz über das Intervall berechnet. - Schließlich haben wir die Stammfunktion gebildet und die Grenzen eingesetzt. - Das Ergebnis ist der Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen im gegebenen Intervall.