1. **Problemstellung:** Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x) = e^{\frac{1}{3}x - 1} + 1$ und der x-Achse im Intervall $[0,4]$. 2. **Formel und Vorgehen:** Die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnet man mit dem bestimmten Integral $$\text{Fläche} = \int_a^b |f(x)| \, dx$$ Da $f(x)$ im Intervall $[0,4]$ positiv ist (da $e^{\frac{1}{3}x - 1} > 0$ und $+1$ verschiebt nach oben), können wir das Integral ohne Betrag berechnen: $$\int_0^4 f(x) \, dx = \int_0^4 \left(e^{\frac{1}{3}x - 1} + 1\right) dx$$ 3. **Integral berechnen:** Zerlegen in zwei Integrale: $$\int_0^4 e^{\frac{1}{3}x - 1} dx + \int_0^4 1 \, dx$$ 4. **Integral von $e^{\frac{1}{3}x - 1}$:** Setze $u = \frac{1}{3}x - 1$, dann ist $du = \frac{1}{3} dx$ oder $dx = 3 du$. Grenzen in $u$ umrechnen: Für $x=0$: $u = \frac{1}{3} \cdot 0 - 1 = -1$ Für $x=4$: $u = \frac{1}{3} \cdot 4 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ Integral wird: $$\int_{u=-1}^{u=\frac{1}{3}} e^u \cdot 3 \, du = 3 \int_{-1}^{\frac{1}{3}} e^u \, du = 3 \left[e^u\right]_{-1}^{\frac{1}{3}} = 3 \left(e^{\frac{1}{3}} - e^{-1}\right)$$ 5. **Integral von 1:** $$\int_0^4 1 \, dx = [x]_0^4 = 4 - 0 = 4$$ 6. **Gesamtergebnis:** $$\text{Fläche} = 3 \left(e^{\frac{1}{3}} - e^{-1}\right) + 4$$ 7. **Numerische Approximation:** $e^{\frac{1}{3}} \approx 1.3956$, $e^{-1} \approx 0.3679$ $$3 (1.3956 - 0.3679) + 4 = 3 (1.0277) + 4 = 3.0831 + 4 = 7.0831$$ 8. **Kontrolle mit Integralfunktion Taschenrechner:** Das Integral von $f(x)$ von 0 bis 4 ergibt ca. 7.0831, was mit der Rechnung übereinstimmt. **Endergebnis:** Die Fläche beträgt ungefähr $7.08$ Einheiten.