1. **Problem statement:** Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen den Kurven $$f(x) = x^3 + x^2$$ und $$g(x) = x^2 + x$$ über dem Intervall $$I = [-1.4, 1]$$. 2. **Schnittstellen bestimmen:** Die Schnittstellen sind die Werte von $$x$$, für die $$f(x) = g(x)$$ gilt. \begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^3 + x^2 &= x^2 + x \\ x^3 + x^2 - x^2 - x &= 0 \\ x^3 - x &= 0 \\ x(x^2 - 1) &= 0 \\ x(x-1)(x+1) &= 0 \end{align*} Die Schnittstellen sind also $$x = -1, 0, 1$$. 3. **Flächeninhalt berechnen:** Der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven $$f(x)$$ und $$g(x)$$ über einem Intervall $$[a,b]$$ ist $$\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$. 4. **Vorzeichen von $$f(x) - g(x)$$ im Intervall prüfen:** \begin{align*} f(x) - g(x) &= (x^3 + x^2) - (x^2 + x) = x^3 - x \\ &= x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1) \end{align*} Im Intervall $$[-1.4, 1]$$: - Für $$x < -1$$ ist $$f(x) - g(x) < 0$$ - Für $$-1 < x < 0$$ ist $$f(x) - g(x) > 0$$ - Für $$0 < x < 1$$ ist $$f(x) - g(x) < 0$$ 5. **Integral aufteilen und Beträge berücksichtigen:** \begin{align*} \text{Fläche} &= \int_{-1.4}^{-1} |f(x) - g(x)| \, dx + \int_{-1}^{0} |f(x) - g(x)| \, dx + \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx \\ &= \int_{-1.4}^{-1} -(f(x) - g(x)) \, dx + \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{1} -(f(x) - g(x)) \, dx \end{align*} 6. **Ausdruck für $$f(x) - g(x)$$ einsetzen:** $$f(x) - g(x) = x^3 - x$$ 7. **Integrale berechnen:** \begin{align*} \int x^3 - x \, dx &= \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C \end{align*} 8. **Berechnung der einzelnen Integrale:** \begin{align*} I_1 &= \int_{-1.4}^{-1} -(x^3 - x) \, dx = \int_{-1.4}^{-1} (-x^3 + x) \, dx \\ &= \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}\right]_{-1.4}^{-1} \\ &= \left(-\frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^2}{2}\right) - \left(-\frac{(-1.4)^4}{4} + \frac{(-1.4)^2}{2}\right) \\ &= \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{3.8416}{4} + \frac{1.96}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1}{4}\right) - \left(-0.9604 + 0.98\right) \\ &= 0.25 - 0.0196 = 0.2304 \end{align*} \begin{align*} I_2 &= \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} \\ &= \left(0 - 0\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = 0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} = 0.25 \end{align*} \begin{align*} I_3 &= \int_{0}^{1} -(x^3 - x) \, dx = \int_0^1 (-x^3 + x) \, dx = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 \\ &= \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{1}{4} = 0.25 \end{align*} 9. **Gesamtfläche:** $$\text{Fläche} = I_1 + I_2 + I_3 = 0.2304 + 0.25 + 0.25 = 0.7304$$ **Antwort:** Die Fläche zwischen den Kurven $$f$$ und $$g$$ im Intervall $$[-1.4, 1]$$ beträgt ungefähr $$0.7304$$ Flächeneinheiten.