1. **Aufgabe 3: Verhältnis der Teilflächen im Rechteck** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = x(x-3)^2$$ mit dem Eckpunkt $$H(1|4)$$ eines Rechtecks, dessen zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Die Funktion $$K$$ teilt das Rechteck in zwei Flächen. Gesucht ist das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen. 2. **Bestimmung der Seitenlängen des Rechtecks:** - Die eine Seite liegt auf der x-Achse von $$0$$ bis $$1$$ (x-Koordinate von H). - Die andere Seite liegt auf der y-Achse von $$0$$ bis $$4$$ (y-Koordinate von H). Das Rechteck hat also die Seitenlängen $$1$$ und $$4$$. 3. **Flächeninhalt des Rechtecks:** $$A_{Rechteck} = 1 \times 4 = 4$$ 4. **Bestimmung der Fläche unter der Funktion $$f(x)$$ von $$0$$ bis $$1$$:** $$A_1 = \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x(x-3)^2 \, dx$$ Zuerst entwickeln wir den Term: $$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$ Also: $$f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$$ 5. **Integral berechnen:** $$A_1 = \int_0^1 (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} \right]_0^1$$ Einsetzen von $$x=1$$: $$\frac{1}{4} - 2 + \frac{9}{2} = \frac{1}{4} - 2 + 4.5 = \frac{1}{4} + 2.5 = 2.75$$ Einsetzen von $$x=0$$ ergibt $$0$$. Also: $$A_1 = 2.75$$ 6. **Bestimmung der zweiten Teilfläche:** $$A_2 = A_{Rechteck} - A_1 = 4 - 2.75 = 1.25$$ 7. **Verhältnis der Flächeninhalte:** $$\text{Verhältnis} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{2.75}{1.25} = 2.2$$ --- 8. **Aufgabe 4: Bestimmung von a und b** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = ax^4 + bx$$ mit Nullstellen bei $$x=0$$ und $$x=1$$ (Punkt $$N(1|0)$$). Die Fläche zwischen $$K$$ und der x-Achse im Intervall $$[0,1]$$ beträgt $$A=9$$. Gesucht sind die Werte von $$a$$ und $$b$$. 9. **Nullstellenbedingung:** Da $$f(1) = 0$$ gilt: $$a(1)^4 + b(1) = a + b = 0 \Rightarrow b = -a$$ 10. **Flächeninhalt berechnen:** Die Fläche zwischen $$f(x)$$ und der x-Achse von $$0$$ bis $$1$$ ist: $$A = \left| \int_0^1 f(x) \, dx \right| = 9$$ Setze $$b = -a$$ ein: $$f(x) = a x^4 - a x = a(x^4 - x)$$ 11. **Integral berechnen:** $$\int_0^1 f(x) \, dx = a \int_0^1 (x^4 - x) \, dx = a \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = a \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right) = a \left( -\frac{3}{10} \right) = -\frac{3a}{10}$$ 12. **Betrag des Integrals ist 9:** $$\left| -\frac{3a}{10} \right| = 9 \Rightarrow \frac{3|a|}{10} = 9 \Rightarrow |a| = 30$$ 13. **Bestimmung von a und b:** Da $$f(x)$$ im Intervall $$[0,1]$$ die x-Achse schneidet und die Fläche positiv ist, wählen wir $$a = -30$$ (damit $$f(x)$$ im Intervall $$[0,1]$$ unter der x-Achse liegt und die Fläche positiv ist). Dann gilt: $$b = -a = 30$$ **Endergebnisse:** - $$a = -30$$ - $$b = 30$$