1. **Aufgabe 7a:** Berechnen Sie die Fläche zwischen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = x + 3$ für $x = -1$ bis $x = 1$. 2. Die Fläche zwischen zwei Funktionen $f$ und $g$ auf $[a,b]$ berechnet sich durch $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$ 3. Zuerst bestimmen wir, welche Funktion oben liegt. Für $x=0$, $f(0) = 4$, $g(0) = 3$, also $f(x) \ge g(x)$ auf $[-1,1]$. 4. Berechnung der Fläche: $$A = \int_{-1}^1 (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 + 4 - (x + 3)) \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 - x + 1) \, dx$$ 5. Integrieren: $$\int (x^2 - x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$$ 6. Auswertung: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^1 = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1 \right)$$ 7. Vereinfachen: $$= \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1 \right) = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1$$ 8. Zusammenfassen: $$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$$ 9. **Endergebnis:** $$\boxed{A = \frac{8}{3}}$$ --- 1. **Aufgabe 7b:** Fläche zwischen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = 2x + 4$ auf $[-1,1]$. 2. Bestimmen, welche Funktion oben liegt. Für $x=0$, $f(0)=4$, $g(0)=4$, gleich. Für $x=1$, $f(1)=5$, $g(1)=6$, also $g(x) \ge f(x)$ auf $[-1,1]$. 3. Fläche: $$A = \int_{-1}^1 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^1 (2x + 4 - (x^2 + 4)) \, dx = \int_{-1}^1 (-x^2 + 2x) \, dx$$ 4. Integrieren: $$\int (-x^2 + 2x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + C$$ 5. Auswertung: $$A = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-1}^1 = \left(-\frac{1}{3} + 1\right) - \left(-\frac{-1}{3} + 1\right) = \left(\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{2}{3}\right) = 0$$ 6. Da die Fläche nicht null sein kann, prüfen wir Betrag: $$A = \int_{-1}^1 | -x^2 + 2x | \, dx$$ 7. Nullstellen von $h(x) = -x^2 + 2x = 0$ sind $x=0$ und $x=2$; im Intervall $[-1,1]$ ist $h(x)$ positiv für $x<0$ und negativ für $x>0$. 8. Fläche aufteilen: $$A = \int_{-1}^0 (-x^2 + 2x) \, dx - \int_0^1 (-x^2 + 2x) \, dx$$ 9. Berechnen: $$\int_{-1}^0 (-x^2 + 2x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{-1}^0 = (0 + 0) - \left(-\frac{-1}{3} + 1\right) = -\left(\frac{1}{3} + 1\right) = -\frac{4}{3}$$ 10. Betrag nehmen: $\frac{4}{3}$ 11. $$\int_0^1 (-x^2 + 2x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^1 = \left(-\frac{1}{3} + 1\right) - 0 = \frac{2}{3}$$ 12. Gesamtfläche: $$A = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$$ 13. **Endergebnis:** $$\boxed{A = 2}$$ --- 1. **Aufgabe 7d:** Fläche zwischen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = \cos(x)$ auf $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. 2. Bestimmen, welche Funktion oben liegt. Für $x=\frac{\pi}{2}$, $f=1$, $g=0$; für $x=\pi$, $f=0$, $g=-1$, also $f(x) \ge g(x)$ auf $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. 3. Fläche: $$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\sin x - \cos x) \, dx$$ 4. Integrieren: $$\int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + C$$ 5. Auswertung: $$A = \left[-\cos x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \left(-\cos \pi - \sin \pi\right) - \left(-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}\right)$$ 6. Werte einsetzen: $$= (-(-1) - 0) - ( -0 - 1) = (1) - (-1) = 2$$ 7. **Endergebnis:** $$\boxed{A = 2}$$ --- 1. **Aufgabe 7f:** Fläche zwischen $f(x) = \sin x$ und $g(x) = \cos x + 1$ auf $[\pi, 2\pi]$. 2. Bestimmen, welche Funktion oben liegt. Für $x=\pi$, $f=0$, $g=0+1=1$; für $x=2\pi$, $f=0$, $g=1$, also $g(x) \ge f(x)$ auf $[\pi, 2\pi]$. 3. Fläche: $$A = \int_{\pi}^{2\pi} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} (\cos x + 1 - \sin x) \, dx$$ 4. Integrieren: $$\int (\cos x + 1 - \sin x) \, dx = \sin x + x + \cos x + C$$ 5. Auswertung: $$A = \left[ \sin x + x + \cos x \right]_{\pi}^{2\pi} = (\sin 2\pi + 2\pi + \cos 2\pi) - (\sin \pi + \pi + \cos \pi)$$ 6. Werte einsetzen: $$= (0 + 2\pi + 1) - (0 + \pi -1) = (2\pi + 1) - (\pi - 1) = 2\pi + 1 - \pi + 1 = \pi + 2$$ 7. Numerisch: $$\pi + 2 \approx 3.1416 + 2 = 5.1416$$ 8. **Endergebnis:** $$\boxed{A = \pi + 2 \approx 5.14}$$ --- 1. **Aufgabe 14a:** Für $m=0.5$, berechnen Sie die Flächen der blau und rot gefärbten Bereiche zwischen $y = mx$ und der Parabel $y = - (x-2)^2 + 4$. 2. Schnittpunkte bestimmen: $$0.5x = - (x-2)^2 + 4$$ $$0.5x = - (x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x -4 + 4 = -x^2 + 4x$$ 3. Umstellen: $$0.5x + x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x^2 - 3.5x = 0 \Rightarrow x(x - 3.5) = 0$$ 4. Schnittpunkte bei $x=0$ und $x=3.5$. 5. Fläche zwischen den Kurven: $$A = \int_0^{3.5} \left( - (x-2)^2 + 4 - 0.5x \right) dx$$ 6. Ausmultiplizieren: $$- (x-2)^2 + 4 = - (x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x -4 + 4 = -x^2 + 4x$$ 7. Integrand: $$-x^2 + 4x - 0.5x = -x^2 + 3.5x$$ 8. Integrieren: $$\int (-x^2 + 3.5x) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3.5x^2}{2} + C$$ 9. Auswertung: $$A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3.5x^2}{2} \right]_0^{3.5} = \left(-\frac{(3.5)^3}{3} + \frac{3.5 (3.5)^2}{2} \right) - 0$$ 10. Berechnen: $$3.5^3 = 42.875$$ $$3.5^2 = 12.25$$ 11. Einsetzen: $$A = -\frac{42.875}{3} + \frac{3.5 \times 12.25}{2} = -14.2917 + \frac{42.875}{2} = -14.2917 + 21.4375 = 7.1458$$ 12. **Endergebnis:** $$\boxed{A \approx 7.15}$$ --- 1. **Aufgabe 14b:** Bestimmen Sie $m$, sodass die blaue Fläche gleich der roten Fläche ist. 2. Die rote Fläche ist die Fläche unter der Parabel und über der $x$-Achse von $x=0$ bis $x=4$ (Scheitel bei $x=2$), berechnen: 3. Parabel $y = - (x-2)^2 + 4$ schneidet $x$-Achse bei: $$- (x-2)^2 + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2 \Rightarrow x=0,4$$ 4. Fläche unter Parabel: $$A_{parabel} = \int_0^4 \left( - (x-2)^2 + 4 \right) dx$$ 5. Ausmultiplizieren: $$- (x-2)^2 + 4 = - (x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x -4 + 4 = -x^2 + 4x$$ 6. Integrieren: $$\int_0^4 (-x^2 + 4x) dx = \left(-\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right)_0^4 = \left(-\frac{64}{3} + 32 \right) - 0 = -21.3333 + 32 = 10.6667$$ 7. Die blaue Fläche ist die Fläche zwischen Parabel und Gerade $y=mx$ von $x=0$ bis $x$ Schnittpunkt $x_s$. 8. Schnittpunkt $x_s$ mit Parabel: $$mx = - (x-2)^2 + 4 = -x^2 + 4x$$ $$mx + x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x^2 + (m - 4)x = 0 \Rightarrow x(x + m - 4) = 0$$ 9. Nullstellen bei $x=0$ und $x=4 - m$ (für $m \le 4$). 10. Blaue Fläche: $$A_{blau} = \int_0^{4-m} \left( - (x-2)^2 + 4 - mx \right) dx = \int_0^{4-m} (-x^2 + 4x - mx) dx = \int_0^{4-m} (-x^2 + (4 - m)x) dx$$ 11. Integrieren: $$\int (-x^2 + (4 - m)x) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{(4 - m)x^2}{2} + C$$ 12. Auswertung: $$A_{blau} = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{(4 - m)x^2}{2} \right]_0^{4-m} = -\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(4 - m)(4 - m)^2}{2} = -\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(4-m)^3}{2}$$ 13. Vereinfachen: $$A_{blau} = (4-m)^3 \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = (4-m)^3 \frac{1}{6}$$ 14. Gleichsetzen mit roter Fläche: $$A_{blau} = A_{rot} \Rightarrow \frac{(4-m)^3}{6} = 10.6667$$ 15. Multiplizieren: $$(4-m)^3 = 64$$ 16. Kubikwurzel: $$4 - m = 4 \Rightarrow m = 0$$ 17. **Endergebnis:** $$\boxed{m = 0}$$ --- 1. **Aufgabe 14c:** Bestimmen Sie $m$, sodass die Gerade $y=mx$ die Fläche unter der Parabel $y=-(x-2)^2 + 4$ und über der $x$-Achse halbiert. 2. Gesamtfläche unter Parabel ist $10.6667$ (aus 14b). 3. Gesucht: $m$ mit $$A_{blau} = \frac{10.6667}{2} = 5.3333$$ 4. Aus 14b gilt: $$A_{blau} = \frac{(4-m)^3}{6} = 5.3333$$ 5. Multiplizieren: $$(4-m)^3 = 32$$ 6. Kubikwurzel: $$4 - m = \sqrt[3]{32} = 3.1748 \Rightarrow m = 4 - 3.1748 = 0.8252$$ 7. **Endergebnis:** $$\boxed{m \approx 0.83}$$ --- 1. **Aufgabe 14d:** Bestimmen Sie alle $m \ge 0$, für die die Graphen im ersten Quadranten keine Fläche einschließen. 2. Fläche entsteht nur, wenn die Gerade und Parabel sich im ersten Quadranten schneiden und die Parabel über der Gerade liegt. 3. Schnittpunkte: $$x(x + m - 4) = 0$$ 4. Für $x > 0$ ist Schnittpunkt bei $x = 4 - m$. 5. Damit $x=4-m > 0$, muss $m < 4$ sein. 6. Für $m \ge 4$ gibt es nur Schnittpunkt bei $x=0$ im ersten Quadranten, also keine Fläche. 7. **Endergebnis:** $$\boxed{m \ge 4}$$ --- 1. **Aufgabe 15:** Gegeben $f(x) = 0.5 x^2$ und Punkt $P(3,4.5)$, berechnen Sie die Fläche, die vom Graphen, der Tangente in $P$ und der $x$-Achse begrenzt wird. 2. Tangentengleichung an $f$ in $x=3$: $$f'(x) = x$$ $$f'(3) = 3$$ Tangente: $$y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 3(x - 3) + 0.5 \times 9 = 3x - 9 + 4.5 = 3x - 4.5$$ 3. Schnittpunkte der Tangente mit $x$-Achse: $$0 = 3x - 4.5 \Rightarrow x = 1.5$$ 4. Schnittpunkte der Parabel mit $x$-Achse: $$0 = 0.5 x^2 \Rightarrow x=0$$ 5. Die Fläche wird begrenzt von $x=0$ bis $x=3$ durch Parabel und Tangente, und von $x=1.5$ bis $x=3$ durch Tangente und $x$-Achse. 6. Fläche unter Parabel von 0 bis 3: $$A_1 = \int_0^3 0.5 x^2 dx = 0.5 \times \frac{x^3}{3} \Big|_0^3 = 0.5 \times \frac{27}{3} = 0.5 \times 9 = 4.5$$ 7. Fläche unter Tangente von 1.5 bis 3: $$A_2 = \int_{1.5}^3 (3x - 4.5) dx = \left( \frac{3x^2}{2} - 4.5x \right)_{1.5}^3$$ 8. Auswertung: $$= \left( \frac{3 \times 9}{2} - 13.5 \right) - \left( \frac{3 \times 2.25}{2} - 6.75 \right) = (13.5 - 13.5) - (3.375 - 6.75) = 0 - (-3.375) = 3.375$$ 9. Die gesuchte Fläche ist Differenz zwischen $A_1$ und $A_2$: $$A = A_1 - A_2 = 4.5 - 3.375 = 1.125$$ 10. **Endergebnis:** $$\boxed{A = 1.125}$$