1. Problem: Bestimmen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche für jede Funktion im angegebenen Intervall. 2. Formel: Der Flächeninhalt unter einer Kurve $y=f(x)$ von $a$ bis $b$ wird berechnet durch das bestimmte Integral: $$\text{Fläche} = \int_a^b f(x)\,dx$$ 3. Wichtig: Wenn die Funktion unter der x-Achse liegt, ist das Integral negativ. Der Flächeninhalt ist aber positiv, also nehmen wir den Betrag des Integrals oder integrieren den negativen Wert mit Vorzeichenwechsel. ### a) $y = x^2 - 1$, Intervall $[-2,-1]$ 4. Integral berechnen: $$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-2}^{-1}$$ 5. Einsetzen der Grenzen: $$= \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - (-2) \right) = \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 2 \right)$$ 6. Vereinfachen: $$= \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{-8}{3} + 2 \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} - 2 = \frac{10}{3} - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3}$$ ### b) $y = \frac{1}{x} - 2$, Intervall $[1,2]$ 7. Integral berechnen: $$\int_1^2 \left( \frac{1}{x} - 2 \right) dx = \int_1^2 \frac{1}{x} dx - \int_1^2 2 dx = \left[ \ln|x| \right]_1^2 - \left[ 2x \right]_1^2$$ 8. Einsetzen der Grenzen: $$= (\ln 2 - \ln 1) - (4 - 2) = \ln 2 - 0 - 2 = \ln 2 - 2$$ 9. Da $\ln 2 \approx 0{,}693$, ist $\ln 2 - 2$ negativ, also ist der Flächeninhalt: $$= 2 - \ln 2$$ ### c) $y = -x^2 + 1$, Intervall $[0,1]$ 10. Integral berechnen: $$\int_0^1 (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 = \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{2}{3}$$ ### d) $y = e^{x-1} - 1$, Intervall $[1,2]$ 11. Integral berechnen: $$\int_1^2 (e^{x-1} - 1) dx = \int_1^2 e^{x-1} dx - \int_1^2 1 dx$$ 12. Substitution für erstes Integral: Setze $u = x-1$, dann $du = dx$, Grenzen ändern sich von $x=1$ zu $u=0$ und $x=2$ zu $u=1$: $$= \int_0^1 e^u du - (2 - 1) = \left[ e^u \right]_0^1 - 1 = (e^1 - e^0) - 1 = (e - 1) - 1 = e - 2$$ **Endergebnisse:** - a) $\frac{4}{3}$ - b) $2 - \ln 2$ - c) $\frac{2}{3}$ - d) $e - 2$ Diese Werte sind die Flächeninhalte der gefärbten Bereiche unter den jeweiligen Kurven im angegebenen Intervall.