1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion $f(x) = x + 3$ und der x-Achse im Intervall $[2;5]$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Der Flächeninhalt $A$ unter dem Graphen von $f$ im Intervall $[a;b]$ ist gegeben durch das bestimmte Integral $$A = \int_a^b f(x) \, dx$$ Der Hauptsatz besagt, dass wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, also $F'(x) = f(x)$, dann gilt $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ Die Integrationskonstante $C$ fällt bei der Berechnung des bestimmten Integrals weg, da sie sich subtrahiert. 3. **Stammfunktion bilden:** Für $f(x) = x + 3$ bestimmen wir eine Stammfunktion $F(x)$: $$F(x) = \int (x + 3) \, dx = \int x \, dx + \int 3 \, dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C$$ 4. **Anwenden des Hauptsatzes:** Berechne nun $$\int_2^5 (x + 3) \, dx = F(5) - F(2) = \left(\frac{5^2}{2} + 3 \cdot 5 + C\right) - \left(\frac{2^2}{2} + 3 \cdot 2 + C\right)$$ 5. **Wegfall der Integrationskonstante:** Die $C$-Terme kürzen sich heraus: $$= \frac{25}{2} + 15 + \cancel{C} - \left(\frac{4}{2} + 6 + \cancel{C}\right) = \frac{25}{2} + 15 - \frac{4}{2} - 6$$ 6. **Vereinfachung:** $$= \frac{25}{2} - \frac{4}{2} + 15 - 6 = \frac{21}{2} + 9 = \frac{21}{2} + \frac{18}{2} = \frac{39}{2} = 19.5$$ 7. **Ergebnis:** Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f(x) = x + 3$ und der x-Achse im Intervall $[2;5]$ beträgt $19.5$ Flächeneinheiten.