1. **Problem statement for 2a:** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von $f(x) = \cos(x) + 2$ und der x-Achse über dem Intervall $[-\pi; 1]$. Da $f$ keine Nullstelle in $[-\pi; 1]$ hat und $f(x) > 0$ in diesem Intervall, entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral von $f(x)$ über $[-\pi; 1]$. 2. **Formel:** Der Flächeninhalt $A$ ist gegeben durch $$A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$$ Da $f(x) > 0$ im Intervall, gilt $$A = \int_{-\pi}^{1} (\cos(x) + 2) \, dx$$ 3. **Berechnung des Integrals:** $$\int (\cos(x) + 2) \, dx = \sin(x) + 2x + C$$ 4. **Auswertung des bestimmten Integrals:** $$A = \left[ \sin(x) + 2x \right]_{-\pi}^{1} = (\sin(1) + 2 \cdot 1) - (\sin(-\pi) + 2 \cdot (-\pi))$$ 5. **Werte einsetzen:** $$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$$ 6. **Endergebnis:** $$A = \sin(1) + 2 - 0 + 2\pi = \sin(1) + 2 + 2\pi$$ --- 1. **Problem statement for 2b:** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5$ und der x-Achse über dem Intervall $[-1; 0]$. Da $f$ keine Nullstelle in $[-1; 0]$ hat und $f(x) > 0$ in diesem Intervall, entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral von $f(x)$ über $[-1; 0]$. 2. **Formel:** $$A = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} \left( \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5 \right) dx$$ 3. **Integral berechnen:** $$\int \left( \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5 \right) dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{4} + 5x + C$$ 4. **Bestimmtes Integral auswerten:** $$A = \left[ \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{4} + 5x \right]_{-1}^{0} = \left(0 - 0 + 0\right) - \left( \frac{(-1)^4}{16} - \frac{(-1)^3}{4} + 5(-1) \right)$$ 5. **Zwischenschritt mit Kürzung:** $$= 0 - \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 5 \right) = - \left( \frac{1}{16} + \frac{4}{16} - 5 \right) = - \left( \frac{5}{16} - 5 \right)$$ 6. **Endergebnis:** $$= - \left( \frac{5}{16} - \frac{80}{16} \right) = - \left( -\frac{75}{16} \right) = \frac{75}{16}$$ --- 1. **Problem statement for 3:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5$. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von $K$ (dem Graphen von $f$), den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch den Tiefpunkt eingeschlossen wird. 2. **Tiefpunkt bestimmen:** Die erste Ableitung ist $$f'(x) = \frac{3}{8}x^2 - \frac{3}{2}x$$ 3. **Kritische Punkte finden:** $$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{8}x^2 - \frac{3}{2}x = 0$$ $$\Rightarrow \frac{3}{8}x(x - 4) = 0$$ $$\Rightarrow x = 0 \text{ oder } x = 4$$ 4. **Zweite Ableitung zur Bestimmung des Tiefpunkts:** $$f''(x) = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$$ 5. **Wert von $f''(x)$ an den kritischen Punkten:** $$f''(0) = -\frac{3}{2} < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt $$f''(4) = \frac{3}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 3 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt 6. **Koordinaten des Tiefpunkts:** $$f(4) = \frac{1}{8} \cdot 64 - \frac{3}{4} \cdot 16 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1$$ 7. **Fläche bestimmen:** Die Fläche wird von $x=0$, $x=4$, $y=0$ und dem Graphen eingeschlossen. 8. **Integral für die Fläche:** $$A = \int_0^4 f(x) \, dx = \int_0^4 \left( \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5 \right) dx$$ 9. **Integral berechnen:** $$\int \left( \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5 \right) dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = \frac{x^4}{32} - \frac{x^3}{4} + 5x + C$$ 10. **Bestimmtes Integral auswerten:** $$A = \left[ \frac{x^4}{32} - \frac{x^3}{4} + 5x \right]_0^4 = \left( \frac{256}{32} - \frac{64}{4} + 20 \right) - 0 = (8 - 16 + 20) = 12$$